§ 12.9. Свойства кратных интегралов

Теорема 1. Если функция ограничена и интегрируема на где измеримы и пересекаются разве что по своим границам, то она также интегрируема на и и обратно.

При этом

Берем произвольную последовательность разбиений множества содержащих в себе границы Они индуцируют на разбиения и Дальше надо рассуждать в точности так же, как при доказательстве одномерной теоремы 1 из § 9.7, только теперь роль отрезков играют множества и

Следствие. Если ограниченную и интегрируемую на функцию видоизменить на любом множестве имеющем жорданову меру нуль, так, что видоизмененная функция останется ограниченной на будет интегрируемой на и

В самом деле, измеримо вместе с , поэтому интегрируема на кроме того,

Но тогда интегрируема

В силу этого утверждения, если функция ограничена на незамкнутом измеримом множестве и интегрируема на нем, пишут

хотя функция могла не быть определенной на Ведь все равно, если бы была определена на так, что совокупность ее значений на была ограничена, то тогда интегралы от на совпадут.

Теорема 2. Если ограниченные интегрируемые на функции и — постоянная, то функции где итегрируемы на При этом

Доказательство такое же, как в случае одномерной теоремы — § 9.6. Теорема 3. Если функции ограничены и интегрируемы на и

то

В частности, если

где постоянные, то

и при некотором С

Доказательство. Из (4) следует, что

откуда для любого разбиения множества

Переходя к пределу при где максимальный диаметр частичных множеств разбиения получим (5).

Равенство (8) называют теоремой о среднем для кратного интеграла.

Примечание. Если связное измеримое замкнутое множество и функция непрерывна на то

где некоторая точка

В самом деле, из непрерывности на замкнутом измеримом множестве следует, что интегрируема на кроме того, существуют на точки и в которых достигает соответственно минимума и максимума

В силу связности существует находящаяся в непрерывная кривая соединяющая точки Непрерывная на отрезке функция

принимает для некоторого значение где

Теорема 4. Для ограниченной интегрируемой на функции выполняются неравенства

В самом деле, интегрируемость доказана в теореме 2. Кроме того,

откуда

Отметим, что в неравенстве (9) недостаточно предполагать интегрируемость (см. замечание в конце § 9.7).