§ 14.7. Ортогонализация системы

Теорема 1. Пусть в действительном линейном пространстве со скалярным произведением задана линейно независимая система элементов

Существует и притом единственная, с точностью до знаков ортогональная и нормальная система элементов

принадлежащих обладающая следующим свойством. При любом натуральном к

и, наоборот,

где числа (действительные).

Если система (1) конечна и состоит из элементов, то и ортогональная система (2) обладает этим свойством.

Выражение "единственная система с точностью до знаков" надо понимать в том смысле, что если система (2), удовлетворяющая условиям теоремы, найдена и если все помножить где знаки могут зависеть от k, то полученные системы снова удовлетворяют условиям теоремы, но никаких других удовлетворяющих условиям теоремы систем нет.

Доказательство. Элемент образует по условию линейно независимую систему, состоящую из одного элемента, и потому

так как должно быть то Тогда и где Этим утверждение доказано при

Пусть теперь известно, что можно построить ортогональную и нормальную систему элементов и притом единственным образом с точностью до знака, так что выполняются равенства (3) и (4). Покажем, что эту систему можно пополнить элементом и притом единственным образом с точностью до знака так, что полученная система будет ортогональной и нормальной и будет удовлетворять условиям (3) и (4), где надо заменить к на к

Искомый элемент должен иметь вид

Во втором равенстве мы заменили на равные им линейные комбинации из с индексами затем привели подобные при одинаковых Это возможно потому, что утверждение верно при k. По условию элемент должен быть ортогональным ко всем поэтому должно быть

Но тогда, подставляя в (5), получим

Элемент

не может быть нулевым, потому что иначе элемент был бы линейной комбинацией из элементов но тогда на основании уже доказанного при к элемент был бы также линейной комбинацией из элементов что противоречило бы линейной независимости системы Итак,

Это позволяет удовлетворить требованию в силу которого число определяется с точностью до знака:

Теорема доказана.

Процесс, при помощи которого строилась ортогональная и нормальная система (2), в указанном выше смысле эквивалентная линейно независимой системе (1), называется процессом ортогонализации (системы (1)).

Теорема 2. Системы элементов из

и

связанные при любом соотношениями (3) и (4), одновременно полны или же не полны в

Здесь можно считать произвольным нормированным пространством, в котором может и не быть определено скалярное произведение.

В самом деле, пусть система (6) полна в произвольный элемент Тогда для любого найдется сумма вида

где числа, такая, что

Но в силу равенств (4) сумма (8) есть некая сумма вида числа, поэтому система (7) полна в

Аналогично доказывается с помощью равенств (3), что полнота системы (7) влечет полноту системы (6).