§ 9.13. Интегрирование по частям

Пусть на луче заданы непрерывные функции к тому же имеет непрерывную производную. Тогда, если обозначить через какую-либо первообразную от получим

Если существует несобственный интеграл

и существует предел

то существует несобственный интеграл

Отметим некоторые частные достаточные признаки существования интеграла (2) и предела (3), а следовательно, и существования интеграла (4).

1) Если функция

ограничена,

и

то интеграл (2) и предел (3) существуют.

Действительно, тогда интеграл (2) сходится, даже абсолютно:

и

Таким образом, в данном случае интеграл (4) сходится и

2) Признак Дирихле. Этот признак заключается в том, что для функции выполняется неравенство (5), что же касается функции то она предполагается убывающей на стремящейся к нулю при таким образом, имеющей неположительную производную. Тогда условие (6) выполняется. Выполняется также и признак (7), потому что существует предел

Таким образом, признак Дирихле есть частный случай признака 1). Пример 1. Интеграл

имеет единственную особенность (в "точке" ). Надо иметь в виду, что функция имеет устранимый разрыв в точке Если ее положить равной 1 в этой точке, то она станет непрерывной. Интеграл (8) сходится потому, что интеграл

сходится на основании признака Дирихле (функция монотонно убывает, стремится при к нулю и имеет непрерывную производную, а функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную ). Однако интеграл (8) сходится не абсолютно: