§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка

Производная от функции есть снова функция. Поэтому можно попытаться взять от нее производную. Полученная функция (если она существует) называется второй производной от и обозначается через . Таким образом,

По индукции производная порядка определяется как первая производная от производной порядка

Конечно, производная порядка от данной функции в данной точке х может существовать и не существовать.

Если говорят, что функция имеет производную порядка в точке то этим самым утверждают, что она имеет в достаточно малой окрестности точки производную порядка которая имеет производную в точке Эта последняя обозначается через и называется производной порядка в точке

Функция где целое положительное число, имеет на всей действительной оси производную любого порядка

Степенная функция , где — произвольное действительное число, имеет для производную любого порядка определяемую по аналогичной формуле

Очевидно,

и, в частности,

Нетрудно проверить формулы

Если есть функция, выражающая зависимость прямолинейного пути, пройденного точкой, от времени то вторая производная есть ускорение точки в момент . В дальнейшем мы увидим, что знание второй производной от функции имеет большое значение при изучении поведения графика этой функции.

Формула Лейбница. Если функция , где в свою очередь функции, имеющие в некоторой точке производные порядка то имеет производную порядка в этой точке, выражаемую по формуле Лейбница:

где биномиальные коэффициенты, (см. § 5.9, (6) и (7)).

Доказательство этой формулы проводится по индукции. При она очевидна. Если предположить, что она верна при то ее верность при получается из следующих выкладок:

Во втором равенстве переменный индекс I заменен на , а в третьем — переменный индекс формально заменен на

Пример 1.

Рассмотрим функцию заданную на некотором интервале . Ее можно бесконечным числом способов записать в виде

Ниже будем употреблять следующую терминологию: переменная у есть функция от независимой переменной эта же самая переменная у есть функция от зависимой переменной Последняя зависит от независимой переменной Таким образом, роль переменной х здесь носит исключительный характер — она в этих рассуждениях будет фигурировать только как независимая переменная.

Дифференциал функции будем называть дифференциалом первого порядка, в отличие от дифференциалов второго, третьего и вообще высшего порядка, которые мы собираемся ввести ниже.

Как мы знаем, первый дифференциал от определяется по формуле

где независимый аргумент.

С другой стороны,

и мы выразили первый дифференциал через .

Равенство (9) замечательно вот с какой точки зрения. Мы определили дифференциал функции у как произведение производной от у по независимой переменной х на дифференциал Оказывается, что можно определить так же, как произведение производной от у по зависимой переменной и на дифференциал При этом имеют место равенства

если, конечно, дифференциал , стоящий в третьем члене (10), соответствует именно тому которое стоит во втором члене (10).

В этом смысле говорят, что форма записи первого дифференциала инвариантна относительно любой переменной и. Для дифференциалов второго и более высокого порядка инвариантность уже не имеет места.

Дифференциалом функции второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

Вообще, по индукции дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала порядка:

При этом при вычислении этих дифференциалов считают, что дифференциал от дифференциала независимой переменной равен нулю:

т. е. рассматривается как постоянная.

В терминах переменной х дифференциалы высшего порядка вычисляются очень просто:

Таким образом, дифференциал порядка от функции равен произведению производной порядка по независимой переменной х на степень дифференциала

Отсюда следует, что

т.е. производная от равна отношению дифференциала от к степени

Выражением широко пользуются для обозначения производной по независимой переменной х.

Формальная замена в формуле (11) независимой переменной х на зависимую и, вообще говоря, неверна, как это будет видно ниже.

Пусть теперь первый дифференциал от у выражен через зависимую переменную и:

Тогда

Здесь равно нулю только в случае, когда и есть линейная функция ( константы).

Таким образом, вообще говоря,

Третий дифференциал от у в терминах переменной и имеет, очевидно,

Мы видим, что выражения для дифференциалов с повышением их порядка сильно усложняются.