§ 5.11. Ряд Тейлора

Выражение

где числа, зависящие в силу некоторого закона от натурального индекса к называется рядом.

Обозначим через сумму его первых членов. Числа составляют последовательность Если она сходится, т.е. существует конечный предел то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму, равную При этом пишут

Если функция имеет в некоторой окрестности точки а производные сколь угодно высокого порядка, то для нее чисто формально можно написать ряд

который носит название ряда Тейлора функции по степеням . Для данных значений он может сходиться или расходиться. Особенно важен тот случай, когда ряд Тейлора функции сходится к самой функции, т.е. имеет суммой

Это имеет место тогда и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора

стремится к нулю при Действительно, если то из (3) следует, что

и так как есть сумма первых членов ряда (2), то ряд (2) сходится и имеет своей суммой

Обратно, если известно, что для некоторого значения х имеет место равенство (4), т. е. если известно, что ряд (2) при этом значении х сходится и имеет своей суммой число то это значит, что для указанного значения

Но тогда из (3) следует, что

На основании результатов, которые были получены в предыдущем параграфе, мы можем теперь сказать, что имеют место следующие разложения в ряды Тейлора:

В приведенных примерах множества точек где ряды Тейлора по степеням сходятся, представляют собой интервал или полуинтервал с центром в 0. Это не случайные факты. В дальнейшем будет выяснено, что ряд вида (см. § 11.11)

где заданные постоянные числа, обладает тем свойством, что если он сходится в точке то он заведомо сходится для всех удовлетворяющих неравенству . Ряды вида (6) называются степенными рядами.

Бывают и такие случаи, что для функции можно формально написать ее ряд Тейлора по степеням а:

иначе говоря, для этой функции имеют смысл производные для любого и ряд (7) сходится для некоторых значений однако сумма ряда для этих не равна

Пример 1. Вот пример такой функции:

Если

По индукции доказывается, что для

где некоторый многочлен, а число зависит от k. Если учесть, что то мы доказали, что Далее, и если уже установлено, что при некотором , то

Итак, для функции имеют смысл равные нулю числа и можно написать ее ряд Тейлора по степеням Все его члены при любом х равны нулю. Он, таким образом, сходится, и его сумма для любого х равна нулю, но отлична от для Аналогичные факты имеют место при

Функция есть пример бесконечно дифференцируемой на действительной оси функции, равной нулю вне некоторого отрезка.

Функции разлагающиеся в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к в некоторой окрестности точки , называются аналитическими во всех точках указанной окрестности (открытой). В частности, они аналитические в точке .

Из сказанного выше следует, что функции аналитические на всей действительной оси, а функции аналитические на интервале

Можно показать (см. ниже пример 2), что, каково бы ни было функции разлагаются в сходящийся к ним ряд Тейлора по степеням а для достаточно малых , откуда следует, что функции на самом деле аналитические при любом Аналитические функции изучаются в специальной математической дисциплине — теории функций комплексного переменного, называемой также теорией аналитических функций.

Возможна следующая классификация функций, заданных на интервале. Функции:

1) произвольные, вообще, разрывные;

2) непрерывные;

3) имеющие производную для некоторого

4) имеющие непрерывную производную для некоторого

5) бесконечно дифференцируемые, т.е. имеющие производную любого порядка, таким образом, имеющие непрерывную производную любого порядка;

6) аналитические.

Каждый следующий класс в этом ряду содержится в предыдущем и состоит из более "хороших" функций.

Функция, определенная равенствами (8), бесконечно дифференцируема на но не является аналитической на нем. Впрочем, она аналитическая на и на

Пример 2. Пусть Тогда

где . Если то тогда

Таким образом, имеет место разложение в сходящийся ряд

для любого Это показывает, что функция аналитическая для любого

Пример 3. Найдем главный степенной член функции

Ведь потому что

Пример 4. Найдем теперь главный степенной член функции

Если воспользоваться предыдущим результатом, то это не даст главного члена. Ведь тогда

Но мы получили некоторую информацию. Главный член, если существует, имеет степень Попробуем воспользоваться формулой Тейлора с остатком в смысле Пеано. Имеем и , поэтому