§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру

Начнем с того, что докажем равенство

где предполагается, что замкнутое измеримое множество пространства точек непрерывны на множестве

В частности, если есть отрезок то формула (1) имеет вид

в предположении, что и непрерывны на . В самом деле, пусть

тогда

потому что

где модуль непрерывности на (замкнутом ограниченном) множестве

Формулу (1) мы теперь обобщим, однако считая, что есть функция от двух переменных чисел х,у. Рассмотрим интеграл

где функции удовлетворяют неравенству и непрерывно дифференцируемы, а функция от числовых переменных непрерывна вместе со своей частной производной на множестве точек (см. еще § 7.11), удовлетворяющих неравенствам Покажем, что функция имеет производную на определяемую по формуле

Для этого введем вспомогательную функцию

заданную на множестве точек определяемом неравенствами

Функцию можно рассматривать как сложную функцию: и ее производную можно вычислить по известной формуле:

где в правой части надо положить

Однако надо убедиться в том, что частные производные от непрерывные функции от и выразить их через

Так как непрерывна по у, то в силу теоремы о производной по верхнему и нижнему пределу интеграла из (4) следует

и при этом правые части (6) в силу непрерывности непрерывны по соответственно и левые.

Так как непрерывна по условию, то в силу

(см., впрочем, замечание ниже). Далее, можно формально считать, что есть функция от переменных Она, очевидно, зависит непрерывно от этих переменных, амии можно считать функциями от

тоже, очевидно, непрерывными. Поэтому в этих обозначениях

Следовательно, есть непрерывная функция от (см. § 12.11, теорему 2).

Мы обосновали равенство (5).

Подстановка (6) и (7) в (5) и замена приводит к формуле (3).