§ 16.6. Пространство S

По определению функция от одной переменной принадлежит пространству (Шварца), если она комплекснозначна действительны), бесконечно дифференцируема на действительной оси и для любой пары неотрицательных чисел (k целое)

Из этого определения следует, что производная при любом к ограничена, стремится к нулю при и принадлежит потому что и интеграл степени от правой части этого неравенства конечен. Заметим, что всякая бесконечно дифференцируемая финитная функция, очевидно, принадлежит

Если функции принадлежат и для любой указанной пары

то будем писать и говорить, что стремится к в смысле (в топологии (S)).

Нам придется иметь дело с операциями приводящими в соответствие каждой функции некоторую функцию Очевидно, линейное множество.

Операция А называется линейной, если

каковы бы ни были комплексные числа и функции

Операция А называется непрерывной, если, какова бы ни была последовательность функций сходящаяся к некоторой функции в смысле имеет место

Следующее утверждение может служить достаточным критерием непрерывности линейной операции: если, какова бы ни была пара (неотрицательных целых чисел), найдется зависящая от нее система пар такая, что

для всех где зависит от то операция А непрерывна. В самом деле, если то для любой пары

Операция дифференцирования раз функции отображает линейно. Она также непрерывна, потому что

для любой пары

Про функцию бесконечно дифференцируемую на будем говорить, что она (вместе со своими производными) имеет полиномиальный рост, если для любого целого неотрицательного k найдутся неотрицательное число и такая константа С, что

Например, функция где неотрицательное целое, очевидно, бесконечно дифференцируема и имеет полиномиальный рост.

Произведение есть линейная непрерывная операция, отображающая Тот факт, что она отображает в 5, и ее непрерывность вытекают из неравенств

из которых следует

Линейность операции очевидна.

Покажем, что преобразование Фурье

есть линейная непрерывная операция, отображающая на и притом взаимно однозначно.

В самом деле, если то и преобразование есть во всяком случае непрерывная функция. Далее,

При этом как произведение функции на бесконечно дифференцируемую функцию полиномиального роста. Так как то интеграл (3) при любом к равномерно сходится и дифференцирование (2) по х под знаком интеграла законно. Имеем, интегрируя по частям,

потому что Но тогда

В частности, и потому

Следовательно, и непрерывно зависит от Но непрерывно зависит от и потому непрерывно зависит от Линейность операции очевидна. Мы пока доказали, что она отображает Но если произвольная функция из , то в силу того, что она гладкая и принадлежит ее можно рассматривать как преобразование Фурье от Это показывает, что на самом деле преобразование отображает на Наконец, из равенства , следует т.е. что показывает, что операция отображает на взаимно однозначно. Для двух функций введем выражение

(без знака сопряжения над ).

Справедливо

и мы получили первое из равенств

Второе равенство доказывается аналогично.

Замену порядка интегрирования в (4) по можно обосновать тем, что

Отметим еще равенства

ведь при Наконец, еще отметим важные равенства

Надо учесть, что если то и так как бесконечно дифференцируемая функция полиномиального роста, то Но тогда и законно применить теорему § 16.4. Второе равенство (7) доказывается аналогично.

Для функций очевидно, верны утверждения приведенные в конце § 16.3 (упражнения).

Пусть (или ). Операция

называется сверткой функций . Справедливы важные равенства

потому что, например (пояснения ниже),

Первый член в этой цепи имеет смысл, потому что — ограниченная непрерывная функция, и потому непрерывная функция. В третьем равенстве произведена замена на в четвертом интегралы по мы поменяли местами (см. ниже теорему Фубини).

Теорема (Фубини). В кратном абсолютно сходящемся интеграле законно менять порядок интегрирования.

(см. 4-е издание этой книги, том II.)

Упражнения.

(см. скан)