§ 7.14. локальный (абсолютный) экстремум функции

Пусть на открытом множестве задана функция

Говорят, что достигает своего (абсолютного) локального максимума в точке если существует положительное число такое, что для всех точек х, для которых

функция определена и подчиняется неравенству . Аналогично, по определению достигает в своего (абсолютного) локального минимума, если существует ее окрестность (1), на которой функция определена и удовлетворяет неравенству

Локальный минимум или максимум называют локальным экстремумом.

Если функция достигает в локального экстремума и имеет в ней частные производные первого порядка, то последние должны в этой точке равняться нулю:

потому что тогда для каждого функция

от одной переменной имеет локальный экстремум в и ее производная по при равная , должна равняться нулю.

Из сказанного следует, что если мы хотим отыскать точки где достигает локального экстремума, мы должны их искать среди точек где либо не имеет какой-либо частной производной, либо имеет их, но они равны нулю. Нас будет интересовать второй случай. Покажем, как можно, разлагая функцию по формуле Тейлора, узнать, имеет ли на самом деле в указанной точке экстремум и какой (максимум или минимум).

Пусть функция имеет в окрестности непрерывные производные второго порядка и ее первые производные все обращаются в нуль в точке Тогда ее разложение по формуле Тейлора (при ) может быть записано так:

Квадратическая форма может обладать одним из следующих четырех свойств:

1) форма строго положительно определенная, т. е. для любых

2) форма строго отрицательно определенная, т.е. для любых

3) форма определенная, но не строго, т.е. для всех или для всех и при этом существует точка такая, что

4) форма неопределенная, т.е. существуют такие и что

Докажем, что в случае 1) функция достигает в локального минимума, в случае 2) — локального максимума, в случае же 4) в точке заведомо нет экстремума. Наконец, в случае 3) вопрос остается открытым — при данной информации функция может иметь экстремум, но может и не иметь его.

Положим Тогда равенство (2) можно записать в виде

где

Таким образом, функцию мы должны рассматривать на шаровой поверхности (4), представляющей собой ограниченное замкнутое множество Очевидно, что непрерывна на .

В случае 1) на . В силу того, что — замкнутое ограниченное множество и непрерывна на нем, существует минимум

Далее, так как при то существует достаточно малое такое, что для всех имеем На основании (3) тогда для указанных

т. е. в точке функция достигает локального минимума.

Утверждение 2) доказывается аналогично. Если форма строго отрицательно определенная, то функция на следовательно, она достигает своего (отрицательного) максимума на который мы обозначим через Но для достаточно малого если имеем поэтому для

т.е. имеет в локальный максимум.

В случае 3) наша форма для некоторой точки обращается в нуль, но тогда в силу однородных свойств формы для любой точки вида , где — любое число, она также должна равняться нулю. Это показывает, что для всех указанных точек х наша форма равна нулю и, следовательно,

Но знак неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет экстремум или не имеет.

Единственное, что можно сказать при этих условиях, что если форма тождественно не равна нулю и является положительно (не строго) определенной, то в не может быть максимума, или если она тождественно не равна нулю и является отрицательно (не строго) определенной, то в не может быть минимума.

В случае 4) опять удобно обратиться к равенству (3). В этом случае по условию существуют точка для которой форма положительна, и точка для которой форма отрицательна, но тогда для соответствующих им точек будут выполняться неравенства и при малых окажется, что т. е. в любой малой окрестности имеются точки для которых а это означает, что в заведомо нет экстремума.

Составим ряд главных миноров квадратической формы

Согласно теореме Сильвестра из теории квадратических форм:

1) если , то форма строго положительно определенная (случай

2) если то форма строго отрицательно определенная (случай

3) если или имеется при котором то форма заведомо не строго определенная (случай 3));

4) во всех остальных случаях форма неопределенная (случай 4)). В двумерном случае равенство (2) выглядит следующим образом:

и соответствующий сильвестров ряд состоит из двух членов:

Следовательно,

a) если и , то имеет в минимум;

b) если и , то — максимум;

c) если то нет экстремума;

d) если то не известно, есть ли экстремум.

Впрочем, эти факты легко получить непосредственно из представления

В случае а) если то а если то должно быть и тогда снова

В случае если то а если то должно быть и тогда

В случае с) и можно, с одной стороны, подобрать так, что а с другой, положить . В обоих случаях будет но разных знаков. Если же но то приходим к тем же фактам, заменяя А на С.

В случае d) при имеем и можно указать ненулевую точку такую, что Тот же факт получим при заменяя А на, С. Наконец, если то форма очевидно, неопределенная.

Пример Уравнения дают два решения: (минимум), (нет экстремума).

Пример Три решения: (минимум); (минимум); (случай d), но на самом деле нет экстремума).

Пример 3. . Решение (сомнительный случай). С другой стороны, очевидно, и так как при любом то экстремума в точке нет. Однако при любых функция имеет минимум при .