§ 6.12. Эволюта

Пусть А — точка кривой определяемая радиус-вектором

Точка О, лежащая на главной нормали к (в точке А) на расстоянии сторону называется центром кривизны (в точке А).

Радиус-вектор центра кривизны О, таким образом, равен

Ееометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой Ее векторное уравнение имеет вид

В частности, если длина дуги, то

Для нас было выражение через (см. § 6.11, (4)). Чтобы выразить

через можно непосредственно произвести замену на издание этой книги, § 6.9). Но возможен и другой путь, излагаемый ниже.

Вектор направлен в сторону , а вектор сторону Но тогда вектор — в сторону . Ведь

Поэтому

Знаменатель в этом выражении можно упростить (пояснения ниже):

Для первого равенства нужно учесть, что векторы перпендикулярны, для второго — формулу (2) из § для третьего — что (см. § 6.11, (5)). Таким образом,

и радиус-вектор эволюты имеет вид

Пример 1. Написать уравнение эволюты к плоской кривой Г:

Решение. Вводим третий орт k:

(учесть, что ),

Теперь в силу (2) для эволюты получаем уравнения

Пример 2. Эволюта циклоиды

есть кривая

Полагая получим уравнения

определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная исходной; рис. 6.13).

Рис. 6.13

Рис. 6.14

Пример 3. Эволюта эллипса есть астроида (рис. 6.14),

(см. § 6.5, пример 2).