Глава 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

§ 4.1. Понятие предела функции

Число А называется пределом функции в точке а, если функция определена на некоторой окрестности а, т.е. на некотором интервале , где за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех для которых имеет место

Тот факт, что А есть предел в точке а, принято записывать следующим образом:

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Число А называется пределом функции в точке а, если она определена на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если предел последовательности существует и равен А, какова бы ни была последовательность сходящаяся к а и такая, что а для всех Таким образом,

Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к а переменная пробегает значения, для которых определена.

Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная не равная ни при каком числу а и стремящаяся к а. Зададим и подберем так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное так, чтобы для Но тогда

а это значит, что последовательность чисел стремится к А, и так как это свойство верно для любой сходящейся к а последовательности лишь бы а и все принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.

Обратно, пусть функция имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно которое мы обозначим через для которого нельзя подобрать нужное т.е. для любого среди удовлетворяющих соотношениям должен найтись хотя бы один такой, что для него

В качестве мы берем все числа вида и для каждого из них найдем точку для которой

Из этих соотношений видно, что в то время как заведомо не стремится к числу А. Таким образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.

Эквивалентность двух определений доказана.

Выражение "предел функции в точке а" часто заменяют выражением "предел функции при стремящемся к или, короче, "предел функции при ". Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что число Нтжа ничего не говорит о значении в самой точке Функция может не быть определенной в Число А говорит о поведении функции в малой окрестности точки а, из которой выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то соответствующее значение в свою очередь приближается к А, т.е. делается как угодно близким к А.

Пример 1. Рассмотрим функцию Она определена для всех Попробуем найти ее предел при Для любого а так как при определении предела при совсем не принимаются во внимание значения в точке то

Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того, чтобы вычислять предел функции достаточно вычислить предел более простой функции Этот последний при очевидно, равен 4. Ведь если подставить в вместо х произвольную переменную стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2

Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом:

Подчеркнем, что функции являются разными функциями. Первая из них определена для в то время как вторая определена для всех х. Однако при вычислении предела функций при нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке и так как для то

Пример 2. Очевидно, что потому что если то . С другой стороны, этот факт можно доказать на языке и 6.

Определим какой-либо интервал, содержащий точку 1, например (1/2, 3/2). Для любого принадлежащего ему, очевидно, выполняются неравенства

Зададим теперь произвольное и положим Тогда для всех удовлетворяющих неравенству будет иметь место соотношение

Пример 3. Функция (график ее изображен на рис. 4.1) определена для всех значений

Рис. 4.1

Она определена, таким образом, в окрестности точки за исключением самой точки Эта функция не имеет предела при потому что последовательность отличных от нуля значений стремится к нулю и в то же время не стремится при к ни к какому пределу.

Введем еще следующее определение. Будем писать

и говорить, что число А есть предел функции при стремящемся к бесконечности, если определена для всех удовлетворяющих неравенству при некотором и для любого можно найти число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.

Число А есть предел функции при если функция определена для всех при некотором и

для любой сходящейся к последовательности

Доказательство эквивалентности этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела в конечной точке а.

Вообще, многие свойства пределов при где — конечное число, и при являются аналогичными. Можно изложить эти свойства единым образом так, что изложение будет одновременно относиться как к случаю, когда где — конечное число, так и к случаю Для этого под буквой а надо понимать либо число (конечное), либо символ Если а есть число, то под окрестностью точки а понимается любой интервал содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки а есть множество всех точек удовлетворяющих неравенствам Если или — то подокрестностью а мы ловимся понимать множество всех удовлетворяющих неравенству

Мы будем писать

где а может быть конечным числом или или — если функция определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для любого найдется такая окрестность точки а, что для всех принадлежащих к ней и отличных от а, имеет место неравенство

Это определение объединяет в себе, очевидно, разобранные выше случаи предела когда х стремится к конечному числу а и когда х стремится к

Приступим к изложению свойств функции имеющей пределы при где есть число или Условимся произвольную окрестность а обозначать символом Легко проверить, что пересечение двух окрестностей, есть снова некоторая окрестность

Теорема 1. Если где - конечное число, то на некоторой окрестности функция ограничена, т. е. существует положительное число такое, что

Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности такой, что

Отсюда для указанных х

Теорема доказана.

Теорема 2. Если конечное число, то существует окрестность такая, что

Больше того, для указанных х

Доказательство. Из условия теоремы следует существование для окрестности такой, что

откуда для указанных Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

При отсюда следует

а при следует

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если

и на некоторой окрестности то

Доказательство. Пусть тогда для достаточно большого по имеет место неравенство

и после перехода к пределу — неравенство Теорема 4. Если

и на некоторой окрестности

то

Доказательство. Пусть тогда при достаточно большом по для

и, следовательно, существует предел равный А, а так как есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет место (3).

Теорема 5 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и для всякого

существовала такая окрестность что, каковы бы ни были точки выполнялось неравенство

Доказательство. Пусть , где А — конечное число; тогда существует окрестность а, где определена, за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, для любого найдется такая окрестность что если то Пусть тогда

и мы получили, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточность этого условия. Пусть функция определена в некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и пусть для любого можно указать окрестность такую, что для всех Зададим произвольную последовательность стремящуюся к а. Тогда найдется натуральное такое, что для будет Но тогда

и последовательность удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел.

Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции для любой сходящейся к а последовательности чисел а существует Из этого свойства автоматически следует, что пределы соответствующие разным сходящимся к а последовательностям, равны между собой. Но тогда существует . В самом деле, пусть Тогда по доказанному существуют числа такие, что Составим новую последовательность: Она сходится к а. По доказанному выше должна сходиться к некоторому числу и соответствующая последовательность Но это возможно, только если Таким образом, Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть

где конечные числа. Тогда

и при условии, что

Докажем для примера второе равенство. Пусть тогда

но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности, равен произведению их пределов, то

Это равенство доказано для любой переменной поэтому

По определению Нтжа если функция определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого положительного числа найдется такая окрестность точки а, что

Если и в некоторой окрестности точки а функция (соответственно ), то еще пишут

(соответственно Нтжа Легко доказать следующие теоремы.

Теорема 7. Если функция удовлетворяет на некоторой окрестности а неравенству

а для функции имеет место

то

Теорема 8. Если в некоторой окрестности точки а и если то

Следствие. Если , то

и если

Теорема 9. Пусть для функции определенной в окрестности точки а (конечной или бесконечной), выполняется условие: из всякой сходящейся к а последовательности можно выделить подпоследовательность для которой Тогда Нтжа

Доказательство. Пусть Согласно условию любая подпоследовательность последовательности содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к А. Но тогда по теореме 3 из § 3.7