Главная > Курс математического анализа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

§ 4.1. Понятие предела функции

Число А называется пределом функции в точке а, если функция определена на некоторой окрестности а, т.е. на некотором интервале , где за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех для которых имеет место

Тот факт, что А есть предел в точке а, принято записывать следующим образом:

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Число А называется пределом функции в точке а, если она определена на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если предел последовательности существует и равен А, какова бы ни была последовательность сходящаяся к а и такая, что а для всех Таким образом,

Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к а переменная пробегает значения, для которых определена.

Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная не равная ни при каком числу а и стремящаяся к а. Зададим и подберем так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное так, чтобы для Но тогда

а это значит, что последовательность чисел стремится к А, и так как это свойство верно для любой сходящейся к а последовательности лишь бы а и все принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.

Обратно, пусть функция имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно которое мы обозначим через для которого нельзя подобрать нужное т.е. для любого среди удовлетворяющих соотношениям должен найтись хотя бы один такой, что для него

В качестве мы берем все числа вида и для каждого из них найдем точку для которой

Из этих соотношений видно, что в то время как заведомо не стремится к числу А. Таким образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.

Эквивалентность двух определений доказана.

Выражение "предел функции в точке а" часто заменяют выражением "предел функции при стремящемся к или, короче, "предел функции при ". Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что число Нтжа ничего не говорит о значении в самой точке Функция может не быть определенной в Число А говорит о поведении функции в малой окрестности точки а, из которой выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то соответствующее значение в свою очередь приближается к А, т.е. делается как угодно близким к А.

Пример 1. Рассмотрим функцию Она определена для всех Попробуем найти ее предел при Для любого а так как при определении предела при совсем не принимаются во внимание значения в точке то

Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того, чтобы вычислять предел функции достаточно вычислить предел более простой функции Этот последний при очевидно, равен 4. Ведь если подставить в вместо х произвольную переменную стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2

Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом:

Подчеркнем, что функции являются разными функциями. Первая из них определена для в то время как вторая определена для всех х. Однако при вычислении предела функций при нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке и так как для то

Пример 2. Очевидно, что потому что если то . С другой стороны, этот факт можно доказать на языке и 6.

Определим какой-либо интервал, содержащий точку 1, например (1/2, 3/2). Для любого принадлежащего ему, очевидно, выполняются неравенства

Зададим теперь произвольное и положим Тогда для всех удовлетворяющих неравенству будет иметь место соотношение

Пример 3. Функция (график ее изображен на рис. 4.1) определена для всех значений

Рис. 4.1

Она определена, таким образом, в окрестности точки за исключением самой точки Эта функция не имеет предела при потому что последовательность отличных от нуля значений стремится к нулю и в то же время не стремится при к ни к какому пределу.

Введем еще следующее определение. Будем писать

и говорить, что число А есть предел функции при стремящемся к бесконечности, если определена для всех удовлетворяющих неравенству при некотором и для любого можно найти число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.

Число А есть предел функции при если функция определена для всех при некотором и

для любой сходящейся к последовательности

Доказательство эквивалентности этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела в конечной точке а.

Вообще, многие свойства пределов при где — конечное число, и при являются аналогичными. Можно изложить эти свойства единым образом так, что изложение будет одновременно относиться как к случаю, когда где — конечное число, так и к случаю Для этого под буквой а надо понимать либо число (конечное), либо символ Если а есть число, то под окрестностью точки а понимается любой интервал содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки а есть множество всех точек удовлетворяющих неравенствам Если или — то подокрестностью а мы ловимся понимать множество всех удовлетворяющих неравенству

Мы будем писать

где а может быть конечным числом или или — если функция определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для любого найдется такая окрестность точки а, что для всех принадлежащих к ней и отличных от а, имеет место неравенство

Это определение объединяет в себе, очевидно, разобранные выше случаи предела когда х стремится к конечному числу а и когда х стремится к

Приступим к изложению свойств функции имеющей пределы при где есть число или Условимся произвольную окрестность а обозначать символом Легко проверить, что пересечение двух окрестностей, есть снова некоторая окрестность

Теорема 1. Если где - конечное число, то на некоторой окрестности функция ограничена, т. е. существует положительное число такое, что

Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности такой, что

Отсюда для указанных х

Теорема доказана.

Теорема 2. Если конечное число, то существует окрестность такая, что

Больше того, для указанных х

Доказательство. Из условия теоремы следует существование для окрестности такой, что

откуда для указанных Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

При отсюда следует

а при следует

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если

и на некоторой окрестности то

Доказательство. Пусть тогда для достаточно большого по имеет место неравенство

и после перехода к пределу — неравенство Теорема 4. Если

и на некоторой окрестности

то

Доказательство. Пусть тогда при достаточно большом по для

и, следовательно, существует предел равный А, а так как есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет место (3).

Теорема 5 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и для всякого

существовала такая окрестность что, каковы бы ни были точки выполнялось неравенство

Доказательство. Пусть , где А — конечное число; тогда существует окрестность а, где определена, за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, для любого найдется такая окрестность что если то Пусть тогда

и мы получили, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточность этого условия. Пусть функция определена в некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и пусть для любого можно указать окрестность такую, что для всех Зададим произвольную последовательность стремящуюся к а. Тогда найдется натуральное такое, что для будет Но тогда

и последовательность удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел.

Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции для любой сходящейся к а последовательности чисел а существует Из этого свойства автоматически следует, что пределы соответствующие разным сходящимся к а последовательностям, равны между собой. Но тогда существует . В самом деле, пусть Тогда по доказанному существуют числа такие, что Составим новую последовательность: Она сходится к а. По доказанному выше должна сходиться к некоторому числу и соответствующая последовательность Но это возможно, только если Таким образом, Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть

где конечные числа. Тогда

и при условии, что

Докажем для примера второе равенство. Пусть тогда

но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности, равен произведению их пределов, то

Это равенство доказано для любой переменной поэтому

По определению Нтжа если функция определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого положительного числа найдется такая окрестность точки а, что

Если и в некоторой окрестности точки а функция (соответственно ), то еще пишут

(соответственно Нтжа Легко доказать следующие теоремы.

Теорема 7. Если функция удовлетворяет на некоторой окрестности а неравенству

а для функции имеет место

то

Теорема 8. Если в некоторой окрестности точки а и если то

Следствие. Если , то

и если

Теорема 9. Пусть для функции определенной в окрестности точки а (конечной или бесконечной), выполняется условие: из всякой сходящейся к а последовательности можно выделить подпоследовательность для которой Тогда Нтжа

Доказательство. Пусть Согласно условию любая подпоследовательность последовательности содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к А. Но тогда по теореме 3 из § 3.7

1
Оглавление
email@scask.ru