§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области

Пусть в плоскости, где задана прямоугольная система координат определена область с кусочно гладкой границей и на задано направление обхода. Ориентированную таким образом область обозначим через или в зависимости от того, ориентирован ли контур положительно или отрицательно.

Пусть теперь на задана интегрируемая функция Введем понятие интеграла от по ориентированной области. Именно, положим

Полезность этих определений можно видеть из следующего факта. Зададим две плоскости, где заданы прямоугольные системы координат и жодинаково ориентированные. Пусть обозначает ориентированную область плоскости с кусочно гладкой (ориентированной) границей и пусть непрерывно дифференцируемое преобразование

отображает взаимно однозначно область на область плоскости и на границу области Будем предполагать, что якобиан

При этом преобразовании обход индуцирует на вполне определенный обходи можно считать ориентированной областью.

Если то при переходе от к ориентация не меняется. Если же то обходы противоположны.

Докажем это утверждение в предположении, что дважды непрерывно дифференцируема. Пусть ориентированный контур определяется кусочно гладкими непрерывными функциями тогда соответствующий (тоже ориентированный) контур Гопределяется функциями

Будем для определенности считать, что контур ориентирован положительно, тогда (пояснения ниже)

В предпоследнем равенстве применена формула Грина, в силу которой перед кратным интегралом надо поставить если окажется, что ориентировано положительно, или если ориентировано отрицательно. Но это выражение в целом положительно, что может быть, лишь если и ориентировано положительно или и ориентировано отрицательно. Надо учесть, что

Из сказанного следует, что для любой функции непрерывной на замыкании ориентированной измеримой области

где обозначает соответствующую ориентированную область. В этой формуле замены переменных якобиан не пишется под знаком абсолютной величины.

Рис. 13.14

Рис. 13.15

Аналогично определяются интегралы для областей определенных на других координатных плоскостях

Остановимся еще на связи ориентации со знаком . В прямоугольной системе координат зададим два неко линеарных вектора Если определитель

положителен, то это указывает на тот факт, что система а , а ориентирована так же, как оси (рис. 13.14). Если же то система ориентирована противоположно (рис. 3.15)

Преобразование (1) отображает прямоугольную сетку плоскости в криволинейную (рис. При этом могут иметь место два характерных случая отображений, изображенных на рис. 13.17 и на рис. 13.18.

Квадрат переходит в криволинейный параллелограмм вектор переходит с точностью до бесконечно малых высшего порядка в касательную к дуге в точке А, определяемую вектором а вектор А— в касательную к дуге

Рис. 13.16

Рис. 13.17

Рис. 13.18.

в точке А, определяемую вектором Если определитель Расположение этих векторов будет таким, как на рис. 13.18, а это приводит к тому, что направления обхода и совпадают, а следовательно, и обхода

Если же то расположение друг к другу касательных векторов к меняется на противоположное, что влечет за собой (рис. 13.17) тот факт, что обходы делаются противоположными.