§ 5.15. Асимптота

Пусть задана кривая (или ветвь кривой) определяемая уравнением

где непрерывная для любого функция. Можно считать точку кривой зависящей от х.

Пусть, кроме того, задана прямая

( постоянные числа). Если расстояние от точки А кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном возрастании то прямая называется асимптотой кривой соответствующей стремлению

Итак, пусть есть асимптота при Уравнение в нормальном виде записывается так:

Поэтому расстояние точки кривой до равно Так как по условию асимптота при то Отсюда

Поэтому , т.е.

Из сказанного понятно, как надо поступать, чтобы найти асимптоту при Надо взять предел (4). Если он не существует, то кривая не имеет асимптоты. Если же предел (4) существует и равен а, надо вычислить предел

Если на самом деле предел (5) не существует, то кривая не имеет асимптоты при Если же он существует, то полученные константы определяют прямую, которая и есть асимптота при Так как пределы (4) и (5) если существуют, то единственны, то непрерывная кривая (или ветвь кривой), определяемая равенством (1), либо не имеет вовсе, либо имеет единственную асимптоту при

Аналогично определяется асимптота при непрерывной кривой (ветви кривой)

а также асимптота при кривой

(состоящей из двух ветвей, соответствующих ).

В проведенных выше рассуждениях надо считать в случае (6), что а в случае (7), что

Если кривая (или ветвь кривой) определяется уравнением - непрерывная функция на интервале обладающая свойством то в этом случае естественно называть прямую , а асимптотой . Во всяком случае,

прямую принято называть асимптотой 1, если непрерывная функция стремится к при х а и строго монотонна в правой или левой окрестности точки Ведь тогда кривую можно записать в виде где у, положительное или отрицательное, достаточно велико по абсолютной величине и прямая очевидно, является асимптотой в указанном в начале параграфа смысле.

Замечание. Задачу о нахождении асимптоты кривой при можно рассматривать как задачу о линеаризации функции на бесконечности.

Ставится вопрос о нахождении линейной функции такой, чтобы

Эта задача и была решена выше. Оказалось, что в одних случаях имеется решение, а в других нет.

Пример 1. Отдадим себе отчет, какой вид имеет график функции

Предел Но уже предел этого отношения при равен

Далее, Таким образом, есть асимптота при Прямая тоже есть асимптота при стремлении к справа и слева:

Найти корни уравнения не удается. Но очевидно, что

Таким образом, на строго возрастает и существует только одно значение где Функция очевидно, убывает на от до затем возрастает, и при этом ее график имеет при асимптоту и весь находится над последней. На интервале

потому что Учитывая это, легко видеть, что на строго убывает от до Далее,

Поэтому на имеется и притом единственная точка перегиба графика . На график обращен выпуклостью вниз, а на — выпуклостью вверх (см. схематический график, рис. 5.11).

Пример 2. Кривая не имеет асимптоты, потому что хотя предел

и существует, все же предел не конечный.