§ 3.8. Критерий Коши существования предела
Пусть переменная стремится к конечному пределу а. Тогда для произвольного положительного числа найдется такое что
Пусть будут любыми натуральными числами, большими Тогда
Отсюда
и мы получим утверждение:
Если переменная имеет конечный предел, то она удовлетворяет следующему условию, называемому условием Коши: для любого найдется такое что для всех выполняется неравенство
Верно и обратное утверждение:
Если переменная удовлетворяет условию Коши, то она стремится к конечному пределу, т. е. существует число а такое, что
Докажем это утверждение. Пусть задана переменная удовлетворяющая условию Коши. Положим и подберем такое, чтобы
Зафиксируем какое-либо Из написанного неравенства следует
или
и переменная ограничена.
Но из ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторому числу:
Покажем, что тогда последовательность имеет предел, равный
В самом деле, зададим и подберем такое, чтобы выполнялись неравенства
Подберем также к настолько большим, чтобы одновременно выполнялись неравенства
Но тогда в неравенстве (1) можно положить будем иметь
Это доказывает, что последовательность имеет предел, равный а.
Если соединить вместе доказанные прямое и обратное утверждения, то получим следующую теорему, о которой говорят, что она дает критерий Коши существования (конечного) предела.
Теорема. Для того чтобы переменная стремилась к (конечному) пределу, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Отметим, что условие Коши можно сформулировать и в следующей форме: для всякого найдется такое что
для всех и любых натуральных