§ 3.8. Критерий Коши существования предела

Пусть переменная стремится к конечному пределу а. Тогда для произвольного положительного числа найдется такое что

Пусть будут любыми натуральными числами, большими Тогда

Отсюда

и мы получим утверждение:

Если переменная имеет конечный предел, то она удовлетворяет следующему условию, называемому условием Коши: для любого найдется такое что для всех выполняется неравенство

Верно и обратное утверждение:

Если переменная удовлетворяет условию Коши, то она стремится к конечному пределу, т. е. существует число а такое, что

Докажем это утверждение. Пусть задана переменная удовлетворяющая условию Коши. Положим и подберем такое, чтобы

Зафиксируем какое-либо Из написанного неравенства следует

или

и переменная ограничена.

Но из ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторому числу:

Покажем, что тогда последовательность имеет предел, равный

В самом деле, зададим и подберем такое, чтобы выполнялись неравенства

Подберем также к настолько большим, чтобы одновременно выполнялись неравенства

Но тогда в неравенстве (1) можно положить будем иметь

Это доказывает, что последовательность имеет предел, равный а.

Если соединить вместе доказанные прямое и обратное утверждения, то получим следующую теорему, о которой говорят, что она дает критерий Коши существования (конечного) предела.

Теорема. Для того чтобы переменная стремилась к (конечному) пределу, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Отметим, что условие Коши можно сформулировать и в следующей форме: для всякого найдется такое что

для всех и любых натуральных