§ 7.17. Отображения

Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций

где открытое множество точек

Будем говорить, что система (1) определяет непрерывно дифференцируемое отображение:

множества на некоторое множество точек Будем еще писать и называть образом прообразом (посредством отображения ).

Наряду с рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое отображение

открытого множества точек у на некоторое множество точек Таким образом,

Если то имеет смысл сложное непрерывно дифференцируемое отображение определяемое равенствами

Якобианы отображений связаны замечательными равенствами:

доказательство которых, как мы видим, основано на применении формулы производной от сложной функции и правила умножения определителей.

В частности, если обращает на множестве точек т.е. есть тождественное отображение, то в силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу

Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1) непрерывно дифференцируемое отображение имеет якобиан

не равный нулю всюду на открытом множестве

Имеют место следующие свойства:

1) - открытое множество (вместе с );

2) если область, область;

3) отображение локально взаимно однозначно, т.е., какова бы ни была точка найдется шар с центром в ней такой, что отображение рассматриваемое только на V, однозначно обратимо.

Пусть Существует точка такая, что Введем пространство точек и в нем рассмотрим уравнения

Точка удовлетворяет этим уравнениям, и в ее некоторой окрестности (в любое) функции непрерывно дифференцируемы и имеют якобиан

Поэтому в силу теоремы 1 предыдущего параграфа для любого найдутся положительные такие, что множество всех точек принадлежащих прямоугольнику

и удовлетворяющих уравнениям (1), описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

Коротко

Таким образом, точки удовлетворяют одному из выписанных ниже вытекающих друг из друга свойств:

Пусть образ при помощи . Тогда вместо (5) можно написать

т. е. каждая точка у открытого куба посредством переходит в точку которая в свою очередь посредством переходит в исходную точку у.

Таким образом,

и обратно

Мы задали произвольную точку определили соответствующую точку образа отображения , и обнаружили в куб с центром в . Это показывает, что есть открытое множество, и если есть область, область (см. ниже замечание).

Этим доказаны утверждения 1), 2).

Из (6) следует, что якобианы преобразований удовлетворяют равенству

и так как первый множитель по условию отличен от нуля, то и второй также не равен нулю.

Мы получили, что отображение на открытом множестве не только непрерывно дифференцируемо, но и имеет отличный от нуля якобиан. Но в таком случае отображение имеет в качестве образа область. Это уже было доказано на примере

Итак, область, отображающаяся (на основании (6), (7)) при помощи на открытый куб непрерывно дифференцируемо и взаимно однозначно. Но тогда любой открытый шар V, принадлежащий с центром в отображается при помощи на некоторую область V непрерывно дифференцируемо и взаимно однозначно. Этим доказано утверждение 3).

Замечание. Свойства (6) и (7) выражают, что операции игр взаимно обратны.

Пусть есть область; тогда по уже доказанному свойству 1) вместе с открыто. Если теперь произвольные точки, то им соответствуют некоторые точки такие, что Но связное множество, и найдется непрерывная кривая такая, что принадлежащая и соединяющая точки Но тогда кривая тоже непрерывна, принадлежит и соединяет у с Следовательно, связно, т. е. область, и мы доказали свойство 2).

Свойство 3) утверждает только локальную взаимную однозначность, глобальной взаимной однозначности может и не быть. Например, преобразование в полярных координат точек плоскости в декартовы при и произвольном в непрерывно дифференцируемо и имеет положительный якобиан, равный Оно отображает точки плоскости в точки (х,у), отличные

от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако каждой такой точке соответствует хотя и одно но бесконечное число различных значений в, отличающихся между собой на