§ 5.2. Дифференциал функции

Если функция имеет в точке х производную, то существует предел

Отсюда следует, что где при Таким образом,

или

Если ввести обозначение то равенство (1) можно записать следующим образом:

Говорят, что функция дифференцируема в точке если ее приращение в этой точке можно записать в виде (2), где — некоторая константа, не зависящая от (но вообще зависящая от ).

Из сказанного следует, что если функция имеет в точке производную, то она дифференцируема в этой точке

Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке т. е. ее приращение в точке представимо в виде (2), то она имеет производную в точке равную числу А.

В самом деле, пусть приращение в точке представимо в виде (2). Разделим обе части (2) на и перейдем к пределу. Тогда

Таким образом, для того чтобы функция имела производную в точке необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

Равенство (2) показывает, что если то приращение функции эквивалентно при первому слагаемому правой части (2):

В этом случае (когда ) член называется главным линейным членом приращения. Главный член линейно (точнее, пропорционально) зависит от Приближенно, пренебрегая бесконечно малой высшего порядка, при малых можно считать равным главному члену.

Главный линейный член приращения называют дифференциалом функции в точке (соответствующим приращению независимой переменной ) и обозначают так:

В целях симметрии приращение независимой переменной обозначают еще через полагая, таким образом, Это соглашение не противоречит выражению для дифференциала функции от

Таким образом, дифференциал функции в точке запишется так:

Из этого равенства следует, что производная от в точке равна она равна отношению дифференциала функции в точке х к соответствующему дифференциалу независимой переменной х.

Надо иметь в виду, что дифференциал независимой переменной не зависит от он равен произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифференциала функции у (отличной от ), то он зависит от (см. (3)).

Можно дать геометрическое представление указанных понятий.

Рис. 5.3

Рассмотрим (рис. 5.3) график функции суть точки графика, соответствующие значениям независимой переменной. Ординаты точек . В соответственно равны Приращение функции в точке равно длине отрезка и представляется в виде суммы где есть угол между касательной в точке А к графику и положительным направлением оси

Мы видим, что отрезок есть дифференциал функции в точке

Таким образом, на долю второго члена приращения приходится величина Эта величина при больших может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем когда При для всякого можно указать такое что при всех удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство

Отметим очевидные формулы:

Пример 1. Нужно прикинуть, сколько материала истрачено на изготовление коробки кубической формы, если известно, что внутренний размер ребра коробки равен 10 см, а толщина стенок равна 0,1 см.

Объем куба есть функция от длины его ребра а. Объем стенок коробки определяется как приращение функции