102. Уравнения класса Фукса.

Исследование регулярных особых точек было впервые систематически проведено в середине XIX века немецким математиком Фуксом. Мы займемся сейчас уравнениями, все особые точки которых суть регулярные особые точки. Такие уравнения называются обычно уравнениями класса Фукса. Напишем наше уравнение в виде

Совершая замену независимой переменной

получим, как мы видели выше, уравнение

По условию точка должна быть регулярной особой точкой этого уравнения. Принимая во внимание, что после деления на коэффициент при не может иметь в точке полюс выше первого порядка, мы должны иметь для разложение вида

т. e. вблизи должно иметь разложение вида

Точно так же, принимая во внимание, что коэффициент может иметь в точке полюс не выше второго порядка, получим

и, следовательно, должно иметь вблизи разложение вида

т. e. для того чтобы бесконечно далекая точка была регулярной особой точкой уравнения (53), необходимо и достаточно, чтобы имела в точке корень, и - корень не ниже второго порядка. Заметим, что если в разложении и в разложении , то точка не является особой точкой уравнения . В этом случае в окрестности уравнение имеет решение

где коэффициенты и — произвольны.

Пусть особые точки нашего уравнения, лежащие на конечном расстоянии. Функция может иметь в этих точках полюсы первого порядка и в силу (54) должна обращаться в нуль на бесконечности, т. е. это будет рациональная дробь вида

где степень числителя по крайней мере на одну единицу ниже степени знаменателя. Точно так же, принимая во внимание (55), видим, что должно иметь вид

где степень числителя по крайней мере на две единицы ниже степени знаменателя. Разлагая рациональные дроби на простейшие, будем иметь следующие общие выражения для коэффициентов уравнений класса Фукса:

В силу (55) мы должны иметь

и второе из выражений (56) показывает, что постоянные должны удовлетворять условию

Выражения (56) совместно с условием (57) а дают необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение (53) было уравнением класса Фукса.

Составим теперь определяющие уравнения для особых точек и для точки Для точки коэффициент при в выражении равен и коэффициент при в выражении равен так что определяющее уравнение в этой точке будет

Перейдем теперь к точке т. е. к точке для уравнения Коэффициент при в выражении

определится, очевидно, следующим образом:

или

Принимая во внимание первое из уравнений (56), получим для этого коэффициента следующее выражение:

Точно так же коэффициент при в выражении

будет

Но в силу (56) и (57)

откуда

Окончательно для определяющее уравнение будет

Принимая во внимание (58) и (59), нетрудно проверить, что сумма корней определяющих уравнений во всех особых точках будет равна

т. е. эта сумма будет равна числу особых точек, лежащих на конечном расстоянии, уменьшенному на единицу.

Если бы мы захотели построить уравнение класса Фукса с одной особой точкой, то всегда можем считать, что эта точка находится на бесконечности, так что на конечном расстоянии вовсе нет особых точек. В формулах (56) мы должны будем положить все коэффициенты равными нулю, и получим таким образом неинтересное уравнение .

Рассмотрим теперь уравнение класса Фукса с двумя особыми точками, одну из которых можно всегда считать находящейся на бесконечности. В этом случае суммы, входящие в формулы (56), должны содержать по одному слагаемому, и, принимая во внимание условие (57), получим

где а есть единственная особая точка, лежащая на конечном расстоянии.

Это уравнение есть линейное уравнение Эйлера [II, 42], и оно приводится, как мы знаем, простой подстановкой

к уравнению с постоянными коэффициентами.

В следующем номере мы займемся подробным исследованием уравнения класса Фукса с тремя особыми точками.

Напомним читателю уравнение Бесселя [II, 48]

которым мы занимались раньше. Это уравнение имеет регулярную особую точку в начале z = 0. Коэффициент при w в окрестности бесконечно далекой точки не удовлетворяет условию (55), и, следовательно, точка будет иррегулярной особой точкой для уравнения Бесселя, т. е. уравнение Бесселя имеет две особые точки: регулярную особенность и иррегулярную особенность .