83. Двойной интеграл и формула Коши.

Пусть регулярна в полицилиндрической области определяемой областями на плоскостях — гладкие или кусочно гладкие контуры, расположенные соответственно в и S Составим повторный интеграл

Меняя порядок интегрирования, придем к двойному интегралу вида

Покажем прежде всего, что интегралы совпадают. Положим, что уравнение кривой в параметрической форме будет

и уравнение кривой будет

Подставляя в выражение функции

мы приведем интеграл к двум квадратурам по переменным t их, причем при первом интегрировании по t мы будем иметь постоянные пределы а и при втором интегрировании по постоянные пределы с и

Написанный интеграл равносилен, очевидно, двойному интегралу на плоскости взятому по прямоугольнику

В таком интеграле, как известно [II, 59], можно менять порядок интегрирования, сохраняя прежние пределы, т. е. интеграл мы можем переписать в виде

а этот последний интеграл, очевидно, равносилен интегралу откуда и вытекает, что интегралы и совпадают. Их общая величина и называется двойным интегралом от функции взятым по контурам

Мы могли бы определить интеграл непосредственно как предел суммы. Разделим линию промежуточными точками

на частей и точно так же линию промежуточными точками

разделим на частей. Составим, далее, двойную сумму

где — некоторая точка дуги линии — некоторая точка дуги линии Предел исписанной суммы и приведет нас к величине (или ).

Пусть границы и - простые замкнутые кривые и положим, что регулярна в замкнутой бицилиндрической области регулярна в бицилиндрической области такой, что содержат соответственно вместе с их границами внутри себя.

Рассмотрим двойной интеграл

или

где некоторые фиксированные точки внутри

При первом интегрировании по контуру переменная является параметром и обозначает некоторую фиксированную точку, лежащую на контуре . При этом будет функцией одного комплексного переменного регулярной в замкнутой области Применение обычной формулы Коши даст нам

Здесь функция будет регулярной функцией от в замкнутой области Применяя еще раз обычную формулу Коши, будем иметь

и, следовательно, в результате получим формулу Коши

Для случая комплексных переменных формула Коши, при соответствующих условиях, имеет для полицилиндрической области вид

Из формулы (2), как и для случая одной комплексной переменной, следует, что имеет в соответствующей полицилиндрической области производные всех порядков, которые выражаются формулами

Из формулы Коши вытекает, как и в случае функции одного комплексного переменного, принцип модуля: если , когда принадлежит принадлежит то в замкнутой соответствующей полицилиндрической области.

Так же, как и для одного комплексного переменного, доказывается теорема Вейерштрасса: если члени ряда

регулярны в замкнутой бицилиндрической области (см. выше) и ряд сходится равномерно в упомянутой замкнутой области, то сумма ряда регулярна внутри бицилиндрической области и ряд можно дифференцировать почленно по и по сколь угодно раз (внутри этой области). При этом продифференцированный ряд равномерно сходится во всякой полицилиндрической области, которая находится строго внутри первоначальной полицилиндрической области.