72. Эйлеров интеграл первого рода.

Эйлеровым интегралом первого рода называется интеграл вида

Как и в случае интеграла (111), мы будем предполагать, что вещественная часть и q больше нуля и, кроме того,

где значения логарифмов берутся вещественными.

Вводя вместо новую переменную t по формуле получим вместо (124)

т. е.

Выведем еще одну формулу, выясняющую основное свойство - функции . Интегрируя по частям, можем написать

В силу сделанных предположений относительно можно утверждать, что внеинтегральный член равен нулю, и предыдущая формула дает следующее свойство функции

Установим теперь связь функции с функцией (111). Применяя то же преобразование, что и в предыдущем параграфе, мы можем представить произведение в виде

и, вводя полярные координаты, получим

Вводя вместо новую переменную t по формуле можем написать

и, следовательно,

Если теперь ввести вместо новую переменную интегрирования по формуле то последнее соотношение даст нам

откуда и получается формула, выражающая через функцию :