ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

98. Разложение решения в степенной ряд.

Во втором томе мы рассматривали линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и в частности занимались интегрированием таких уравнений при помощи степенных рядов. Там мы ограничились лишь тем, что показали, что можно формально удовлетворить уравнению некоторым степенным рядом, не доказывая сходимости этого ряда. Сейчас мы дадим полное и систематическое исследование линейных уравнений второго порядка, коэффициенты которых суть аналитические функции комплексного переменного. Независимую переменную в дифференциальном уравнении мы будем, таким образом, считать комплексной переменной, а искомую функцию и коэффициенты — аналитическими функциями.

Напишем линейное уравнение второго порядка в виде

где суть производные искомой функции w по комплексной переменной .

Пусть, кроме того, имеются начальные условия

Положим, что коэффициенты суть регулярные функции в некотором круге Покажем, что внутри этого круга существует решение уравнения (1) (регулярная функция), удовлетворяющее условиям (2). Вводя, кроме w, новую искомую функцию можно переписать уравнение (1) в виде системы двух уравнений первого порядка

Для симметрии в формулах мы будем рассматривать общий случай системы двух линейных уравнений с двумя искомыми функциями

и покажем, что такая система имеет регулярное решение внутри круга удовлетворяющее любым начальным условиям

если коэффициенты системы (3) суть регулярные функции внутри упомянутого круга.

Воспользуемся при этом тем же методом последовательных приближений, которым мы уже пользовались в томе II. Весь ход доказательства будет совершенно таким же, как и там. Вместо системы (3) с начальными условиями (4) напишем уравнения в интегральной форме:

Рассмотрим круг где некоторое положительное число, меньшее R. В этом круге вплоть до его контура коэффициенты суть регулярные функции, и, следовательно, имеют место неравенства

где М — некоторое определенное положительное число. Применяя метод последовательных приближений, положим

и вообще

При каждом из интегрирований под знаком интеграла будут стоять регулярные функции от и для каждого из интегралов величина интеграла не будет зависеть от пути внутри круга К. Пусть, далее, — положительное число, определяемое неравенствами

Для простоты письма будем считать в дальнейшем и будем производить интегрирование от 0 до z по прямой линии. При этом

Первая из формул (8) при дает нам

Заменяя под интегралом все члены их модулями и пользуясь (6) и (7), получим неравенство

и совершенно так же

Первое из уравнений (8) при будет

и, вычитая из него первое из уравнений (8) при получим

Заменяя опять под интегралом все количества их модулями и пользуясь неравенствами и (112), будем иметь

или

и совершенно так же

Продолжая таким же образом и дальше, получим следующие оценки:

Отсюда непосредственно вытекает, что члены ряда

в круге по модулю меньше положительных чисел

которые образуют сходящийся ряд, т. е. ряд (12) сходится абсолютно и равномерно в круге . Сумма первых членов этого ряда есть как раз и, следовательно, в круге стремится равномерно к некоторой функции и

Точно так же будет равномерно стремиться к некоторой функции Согласно теореме Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах эти предельные функции также будут регулярными функциями внутри круга К. Обратимся теперь к формулам (8). В первой из этих формул подинтегральное выражение стремится равномерно к предельной функции

Но, как известно [I, 146], возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда есть то же самое, что возможность переходить к пределу под знаком интеграла для равномерно сходящейся последовательности функций, и, таким образом, переходя к пределу в уравнениях (8), мы увидим, что предельные функции и и v должны удовлетворять уравнениям (5). Полагая в этих уравнениях мы видим, что наши функции удовлетворяют начальным условиям (4), а дифференцируя уравнения (5), увидим, что они дают решение системы (3).

Возвратимся теперь к уравнению (1), которое, как мы видели, является частным случаем системы (3). Мы показали, что в любом круге с центром находящемся внутри круга существует решение уравнения, удовлетворяющее условиям (2) при любых Функции разлагаются внутри круга в степенные ряды

Найденное решение также есть регулярная функция, а потому также должна разлагаться в степенной ряд, причем в силу (2) первые два коэффициента разложения должны равняться

Подставляя этот ряд в уравнение (1), мы должны будем приравнять нулю коэффициенты при различных степенях и это приведет нас, как мы это уже видели [II, 45], к уравнениям вида

из которых последовательно определятся коэффициенты . Это показывает нам прежде всего, что искомое решение может быть только одно. Кроме того, из предыдущего доказательства вытекает, что оно существует, т. е. что при подстановке найденных коэффициентов в ряд (13) этот ряд будет сходящимся во всяком круге, находящемся внутри круга т. е., проще говоря, он будет сходиться внутри круга Мы получаем, таким образом, следующую основную теорему:

Теорема I. Если коэффициенты уравнения - регулярные функции в круге то в этом круге существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) при любых заданных и с.

Придавая определенные числовые значения, мы можем построить два решения и удовлетворяющих начальным условиям:

Если

то всякое решение, регулярное в круге будет выражаться через в виде

Действительно, если это решение w имеет начальные условия (2), то для постоянных и мы будем иметь систему уравнений вида

и эта система, в силу (14), дает определенные значения для . Решения построенные выше, будут линейно независимыми решениями уравнения (1) [II, 24].

Замечание. Применение метода последовательных приближений к системе (3) привело нас для функции и к бесконечному ряду (12). Этот ряд не будет, конечно, степенным рядом, но его равномерная сходимость в круге гарантировала нам существование регулярного решения в этом круге, представимого степенным рядом. Мы можем построить функции и ряд (12) в любой области, где коэффициенты системы (3) суть регулярные функции, и можно показать рассуждениями, аналогичными предыдущим, что во всякой такой области ряд (12) и аналогичный ряд для v будут равномерно сходиться и будут давать решение системы. Вид этих рядов в некоторых случаях мы выясним в дальнейшем.