8. Интегралы типа Коши.

В формуле Коши (31) числитель в подинтегральной функции представлял собою значение регулярной функции на контуре При этом, согласно формуле Коши величина интеграла воспроизводила в точности функцию в точке находящейся внутри области. Будем рассматривать интеграл, стоящий в формуле Коши, как некий вычислительный аппарат, и посмотрим, что он будет давать, если мы в числитель его подинтегральной функции подставим какую-нибудь совершенно произвольно заданную непрерывную функцию на контуре, про которую ничего не известно больше того, что она задана и непрерывна на контуре. Обозначим эту функцию через . Величина нашего интеграла будет, очевидно, некоторой функцией от

Интеграл, стоящий справа, при сделанных общих предположениях относительно функции называется интегралом типа Коши. Мы можем, как и в предыдущем номере, дифференцировать по z под знаком интеграла сколько угодно раз и получим формулы, аналогичные формулам (32):

т. е. есть во всяком случае регулярная функция внутри той области В, которая ограничена замкнутым контуром l. Мы могли бы, конечно, считать, что z находится и вне замкнутого контура При этом наряду с формулой (39) мы опять имели бы формулу (40), т. е. формула (39) и для точек z вне контура l определяет некоторую регулярную функцию. Если считать, что z находится на самом контуре, то интеграл (39) теряет смысл, так как при этом подинтегральная функция на контуре интегрирования обращается в бесконечность. Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему результату: интеграл типа Коши (39) определяет две регулярные функции — одну внутри контура l и другую вне контура.

Заметим, что эти две регулярные функции будут, вообще говоря, различными. Чтобы пояснить это обстоятельство, рассмотрим наи более простой случай, а именно тот случай, когда «плотность» в интеграле типа Коши совпадает со значениями на контуре функции регулярной в замкнутой области, ограниченной контуром

Итак, пусть со есть функция, регулярная в замкнутой области, ограниченной контуром Если z находится внутри l, то применима формула Коши (31), и интеграл типа Коши

дает нам внутри контура функцию Положим теперь, что z находится вне контура и рассмотрим подинтегральную функцию в интеграле (41) как функцию от Ее числитель регулярен внутри и на а ее знаменатель не обращается в нуль внутри и на так как z находится по условию вне Следовательно, мы можем применить теорему Коши и утверждать, что величина интеграла (41), если z находится вне равна нулю, т. е. в рассматриваемом случае интеграл типа Коши (41) дает если z внутри и нуль, если z вне

Вернемся опять к формуле Коши (31). В этой формуле «плотность» интеграла типа Коши совпадала со значениями самой функции на контуре . В общем случае интеграла типа Коши (39), если задается как произвольная непрерывная функция на контуре это обстоятельство, конечно, не будет иметь места. Для формулы (39) мы должны различать две функции: функцию определенную формулой (39) внутри и функцию определенную вне Если z стремится к некоторой точке лежащей на контуре l изнутри, то возникает вопрос — будет ли вообще стремиться к пределу и как этот предел будет связан со значением Такой же вопрос можно поставить и для функции если стремится к извне контура. В настоящей главе мы не будем заниматься этим вопросом. При некоторых дополнительных предположениях предельные значения функций наверно будут существовать, но их связь с представляется довольно сложной. Разность этих предельных значений, т. е., точнее говоря, разность предела и предела при стремлении z к по нормали к кривой l будет равна в точности Это правило подтверждается на частном примере интеграла типа Коши вида (41). Здесь внутреннее предельное значение будет и внешнее — нуль.

Интегралами типа Коши нередко пользуются при аналитическом представлении функций. Заметим, что это представление многозначно, т. е., точнее говоря, можно одну и ту же функцию представить различными интегралами типа Коши. Покажем это на примере. Пусть l — замкнутый контур, содержащий начало внутри себя, и определим внутри l регулярную функцию, равную тождественно нулю. Она, конечно, может быть представлена интегралом типа Коши (39) с «плотностью» .

Покажем, что эту функцию, т. е. нуль, можно представить интегралом типа Коши с «плотностью» . Действительно, рассмотрим интеграл

и покажем, что он равен нулю при любом положении z внутри причем напомним, что по условию начало также находится внутри Разлагая рациональную дробь на простейшие, можем написать

и, следовательно,

Принимая во внимание пример из [6], получим

Итак, интеграл типа Коши (42) дает также нуль внутри l. Добавляя этот интеграл к некоторому интегралу типа Коши (39), дающему регулярную функцию мы получим другой интеграл типа Коши, дающий ту же самую функцию Таким образом, из равенства двух интегралов типа Коши

при всяком z внутри l нельзя все же заключить, что «плотности» этих интегралов совпадают. Но это будет так, если мы наложим на «плотности» некоторые добавочные условия. Так, например, имеет место следующая теорема Гарнака: если непрерывные вещественные функции и l есть окружность, то равенство (43) равносильно тождеству

В конце этой главы мы рассмотрим вопрос о предельных значениях интегралов типа Коши при приближении к контуру области.