23. Обращение степенного ряда.

Мы применим сейчас теорему Руше для исследования функции, обратной степенному ряду

Будем сначала считать, что коэффициент отличен от нуля, т. е. что При значениях , близких к b, мы будем получать значения w, близкие к Покажем, что в рассматриваемом случае некоторая окрестность точки b перейдет в однолистную окрестность точки содержащую эту точку внутри себя. Из этого, между прочим, будет непосредственно следовать, что функция, обратная (128), будет однозначной и регулярной в окрестности точки и будет, следовательно, разлагаться в ряд Тейлора по степеням ().

Функция

имеет в точке b простой корень и в некоторой окрестности этой точки наверно отлична от нуля [18].

Пусть К — такой круг с центром в котором функция регулярна и имеет единственный корень На окружности С этого круга в нуль не обращается, и существует такое положительное число ту что на этой окружности Пусть далее есть круг на плоскости w с центром и радиусом , меньшим числа . Возьмем некоторую фиксированную точку принадлежащую этому кругу.

Мы имеем, следовательно, т. е. на окружности С круга К имеем так как на С. Согласно теореме Руше, функция

имеет внутри круга К столько же корней, что и функция т. е. один корень. Иначе говоря, значения покроют однолистно круг когда z меняется в некоторой окрестности точки т. е. однолистному кругу плоскости w будет соответствовать на плоскости некоторая, вообще говоря, не круговая окрестность точки z = b (содержащая точку z = b внутри себя). Наше утверждение» таким образом, доказано, т. е. если в ряде (128) коэффициент то окрестность точки переходит в однолистную окрестность и обращение ряда (128) при w, близких к имеет вид

Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда в ряде (128) несколько первых коэффициентов обращаются в нуль:

т. е.

Рассмотрим корень степени из последнего множителя справа:

причем мы берем то значение этого корня степени с показателем которое равно единице при . Существует такое положительное число , что при степенной ряд, стоящий в квадратной скобке, сходится и его сумма по модулю меньше некоторого наперед фиксированного числа меньшего единицы.

При этом ко всей фигурной скобке в степени можно применить формулу бинома Ньютона:

При члены этого ряда — регулярные функции и ряд сходится равномерно, ибо модуль квадратной скобки меньше числа , где . Пользуясь теоремой Вейерштрасса [12], получим

где и можно переписать (130) в виде

где какое-либо фиксированное значение корня, или

где .

Функция

преобразует однолистную окрестность точки в однолистную окрестность точки и при этом преобразовании углы в точке не меняются. Преобразование (131) может быть записано в виде откуда следует, что при преобразовании (131) или, что то же, при преобразовании (130) окрестность точки переходит в -листную окрестность точки и углы в точке при этом преобразовании в точке увеличиваются в раз. Формула (131) равносильна формуле

где слева надо брать все значения корня. Формула m-листную окрестность точки преобразует в однолистную окрестность . В силу доказанного выше обращение степенного ряда (132) имеет вид

или, возвращаясь к переменной w, получаем обращение степенного ряда (130) в виде

и справа надо брать все значения корня.

Выше рассмотрен случай, когда точки z и w находятся на конечном расстоянии. Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда одна из точек или обе находятся на бесконечности. Положим, например, на конечном расстоянии. Вместо (130) будем иметь разложение

При этом однолистная окрестность точки переходит в -листную окрестность точки и обращение ряда (134) имеет вид

В случае и z — на конечном расстоянии функция имеет полюс в точке

Однолистная окрестность переходит в -листную окрестность и обращение ряда имеет вид

Если и до находятся на бесконечности, то w имеет при полюс:

а обращение имеет вид