158. Свойство ортогональности.

Рассмотрим две различные функции Эрмита Мы имеем для них уравнения

Умножая первое из них на второе — на , вычитая и интегрируя по промежутку получим, как всегда, свойство ортогональности функций Эрмита:

или, в силу (10),

т. е. можно сказать, что полиномы Эрмита ортогональны в промежутке с весом . Вычислим теперь интеграл (16) при Согласно формуле (14) будем иметь

или, интегрируя по частям,

Внеинтегральный член представляет собою произведение на полином, а потому он обращается в нуль при Произведя дальнейшее интегрирование по частям, получим

или, принимая во внимание, что старший коэффициент полинома равен

и окончательно будем иметь

Можно построить ряды, аналогичные рядам Фурье и расположенные по полиномам Эрмита так же, как это мы делали и для полиномов Лежандра [133]. Но только в данном случае вместо конечного промежутка мы будем иметь бесконечный промежуток . В этом промежутке получится разложение вида

где коэффициенты в силу предыдущего условия ортогональности и формулы (17), определяются следующим образом:

Для того чтобы разложение (18) имело место, необходимо, конечно, чтобы функция удовлетворяла некоторым условиям.