158. Свойство ортогональности.
Рассмотрим две различные функции Эрмита 
Мы имеем для них уравнения
Умножая первое из них на 
второе — на 
, вычитая и интегрируя по промежутку 
получим, как всегда, свойство ортогональности функций Эрмита:
или, в силу (10),
т. е. можно сказать, что полиномы Эрмита ортогональны в промежутке 
с весом 
. Вычислим теперь интеграл (16) при 
Согласно формуле (14) будем иметь
или, интегрируя по частям,
Внеинтегральный член представляет собою произведение 
на полином, а потому он обращается в нуль при 
Произведя дальнейшее интегрирование по частям, получим
или, принимая во внимание, что старший коэффициент полинома 
равен 
и окончательно будем иметь 
Можно построить ряды, аналогичные рядам Фурье и расположенные по полиномам Эрмита так же, как это мы делали и для полиномов Лежандра [133]. Но только в данном случае вместо конечного промежутка 
мы будем иметь бесконечный промежуток 
. В этом промежутке получится разложение вида
где коэффициенты 
в силу предыдущего условия ортогональности и формулы (17), определяются следующим образом:
Для того чтобы разложение (18) имело место, необходимо, конечно, чтобы функция 
удовлетворяла некоторым условиям.
