171. Функции Вейерштрасса.

Для сокращения письма обозначим

Принимая во внимание основную лемму, можно непосредственно построить целую функцию, имеющую простые корни в точках (38). Эта функция определится следующей формулой [69]:

где бесконечное произведение распространяется на все пары целых значений как положительных, так и отрицательных, кроме

Как известно [68], мы можем вычислять логарифмическую производную от написанного произведения так же, как и от конечного произведения, причем логарифмическая производная от отдельного сомножителя написанного произведения будет

Таким образом, мы получаем вторую функцию

которая имеет в точках (38) простые полюсы. Эта функция получается из , как из Принимая во внимание сходимость ряда

нетрудно показать, что ряд (40) сходится равномерно во всякой конечной области, если отбросить конечное число слагаемых, имеющих в этой области полюсы. Дифференцируя функцию (40) и меняя знак, получаем новую функцию

Эта новая функция получается из совершенно так же, как из . Она имеет в точках w полюсы второй кратности.

Ряд (41) сходится также равномерно в области указанного выше вида [12].

Выясним теперь некоторые основные свойства введенных функций. Напишем формулу для

Поскольку произведение распространяется на все пары целых кроме мы можем переменить знаки т. е. переменить знак у w, и таким образом получим

т. е. есть функция нечетная. Совершенно так же можно показать, что есть также функция нечетная, есть функция четная. Это, впрочем, может быть получено и непосредственно из формул

поскольку дифференцирование нечетной функции дает четную функцию, и наоборот. Кроме того, из формул, определяющих введение функции, непосредственно следует:

Функции не могут иметь периодов так как первая есть целая функция, а вторая имеет в параллелограмме один

простой полюс. Покажем, что функция имеет периоды и Для этого образуем сначала

или

где суммирование распространяется на все целые и без исключения. Отсюда

Если пробегает все целые значения, то то же можно сказать и относительно Таким образом, имеем

и аналогично можно сказать, что Итак,

Посмотрим теперь, как изменяется функция при прибавлении к аргументу чисел или Интегрируя (44), имеем

где некоторая постоянная. Положим в этом тождестве , причем напомним, что не есть полюс :

В силу четности функции имеем и следовательно, т. е.

Посмотрим теперь, как меняется функция при прибавлении к аргументу чисел . На основании (45) и (42) имеем

Откуда, интегрируя, получим

где некоторая постоянная, т. е. функция получает постоянное слагаемое при прибавлении к аргументу числа Из формулы (46) вытекает и более общая формула:

где любые целые числа.

Можно число представить как частное значение функции а именно: полагая в формуле и принимая во внимание нечетность функции получим

Обратимся теперь к функции а (и). В силу (46) и (42) можем написать

Интегрируя, получим

или

где - некоторая постоянная. Для определения этой постоянной положим в написанном тождестве :

Принимая во внимание нечетность и сокращая на множитель о отличный от нуля, получим

и окончательно

Вывод: функция приобретает множитель показательного типа при прибавлении к аргументу числа Вместо формулы (49) можно получить более общую формулу, аналогичную формуле (47), а именно:

где

и или смотря по тому, будут ли целые числа оба четные или нет. В последнем случае соотношение (50) непосредственно вытекает из (47) так же, как (49) из (46). Этим только случаем нам и придется пользоваться в дальнейшем при

В заключение настоящего параграфа выведем одно соотношение, связывающее постоянные Предварительно установим некоторый порядок в обозначении периодов Рассмотрим основной параллелограмм ABCD (рис. 80). Одна из его сторон AD образует с другой его стороной АВ положительный угол, меньший Мы всегда будем считать, что число соответствует той стороне АВ, от которой угол отсчитывается, а число той стороне AD параллелограмма, до которой производится отсчет положительного угла, меньшего при этом аргумент дроби будет представлять собою некоторый угол, заключающийся между т. е. мнимая часть упомянутой дроби будет обязательно положительной. У обратной дроби мнимая часть будет, очевидно, отрицательной. Таким образом, мы всегда будем обозначать числа так, чтобы отношение имело положительный коэффициент при мнимой единице.

Построим теперь параллелограмм с основной вершиной так, чтобы полюс находился внутри него. Этот единственный полюс имеет в силу (40) вычет, равный единице, и согласно основной теореме о вычетах интеграл от функции по контуру параллелограмма будет равен т. е.

Заменяя во втором из написанных интегралов переменную и новой переменной и в третьем — переменную и новой переменной получим

где интегрирование совершается по отрезкам прямых, или, меняя обозначение переменной интегрирования,

Отсюда в силу (46) и получаем искомое соотношение между числами

Это соотношение называется обычно соотношением Лежандра.

Функции были введены впервые Вейершграссом. Как видно из их определения, для их построения можно пользоваться любыми двумя комплексными числами при единственном ограничении, чтобы их отношение было невещественным, и эти функции Вейерштрасса являются не только функциями аргумента и, но и функциями тех комплексных параметров и о которых мы только что упоминали. Поэтому иногда их обозначают следующим образом: