51. Бигармоническое уравнение.

Переходим теперь к рассмотрению связи теории аналитических функций комплексного переменного с теорией так называемых бигармонических функций, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению

где А есть обычный оператор Лапласа, выражающий сумму вторых производных по переменным х и у (мы рассматриваем плоский случай). В раскрытом виде уравнение (155) будет

или

Пусть u — некоторая функция, непрерывная со своими производными в конечной односвязной области В и удовлетворяющая в этой области уравнению (156). Согласно (155) функция

будет гармонической функцией. Положим, что есть сопряженная функция, так что

есть аналитическая функция комплексного переменного .

Построим еще аналитическую функцию

Мы имеем, очевидно,

Вычислим оператор Лапласа от выражения . Принимая во внимание (160), мы будем иметь

т. е. упомянутое выше выражение есть гармоническая функция, которую мы обозначим через . Вводя сопряженную функцию и соответствующую функцию комплексного переменного можем написать

или

Таким образом, всякая багармонинеская функция выражается через две аналитические функции комплексного переменного согласно формуле (161). Нетрудно показать, что и, наоборот, при любом выборе аналитических функций формула (161) дает бигармоническую функцию, т. е. формула (161), содержащая две произвольные аналитические функции, дает общее выражение бигармонических функций. Эта формула называется обычно формулой Гурса.

При заданной бигармонической функции и функции входящие в формулу (161), определяются не вполне, но содержат некоторые произвольные постоянные. Прежде всего, вещественная функция q(х, у) определяется с точностью до постоянного слагаемого, т. е. функция определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого. Кроме того, при определении функции но формуле (159) в нее входит еще произвольное постоянное комплексное слагаемое. Таким образом, окончательно функция будет содержать произвольные элементы в виде слагаемого следующего вида:

где С — произвольная комплексная постоянная и а — произвольная вещественная постоянная. Мы можем определить эти произвольные постоянные, поставив некоторые дополнительные условия, например условия вида

Точно так же при определении функции мы получаем произвольное слагаемое в виде чисто мнимой постоянной, которая определяется, если подчинить функцию например, условию

Условия (162) и (163) определяют функции Уже вполне, причем считаем, конечно, что точка принадлежит нашей области.

Рассмотрим основную предельную задачу, касающуюся бигармонических функций. Она формулируется следующим образом: найти функцию, бигармоническую внутри замкнутого контура , если заданы значения самой функции и ее нормальной производной на этом контуре:

Покажем, что предельные условия (164) дают нам непосредственно и предельные значения производных от функции и по координатам. Действительно, мы имеем

где s — направление, касательное к контуру . Таким образом, из предельных условий (164) вытекают предельные условия вида

Но в этих последних предельных условиях функции нельзя задавать произвольно, а именно: криволинейный интеграл

дающий приращение функции вдоль замкнутого контура, должен, очевидно, равняться нулю, так как функция и должна быть однозначной. Это приводит нас к следующему условию для функций в предельных условиях (165):

В остальном выбор этих функций может быть произвольным.

Будем искать бигармоническую функцию по формуле Гурса (161). Дифференцируя по и у через посредство z и z, мы будем, очевидно, иметь

Таким образом, мы приходим к двум равенствам, которым должны удовлетворять искомые функции на контуре :

Второе из этих равенств является, очевидно, следствием первого и получается из него путем перехода к сопряженным величинам. Мы приходим, таким образом, в данном случае к некоторой предельной задаче для двух аналитических функций.

Рассматриваем здесь, как и в случае гармонических функций, только внутреннюю задачу, относящуюся к ограниченной части плоскости.

В плоской задаче теории упругости напряжения выражаются через бигармоническую функцию (функцию ) по формулам

и, пользуясь формулой Гурса, можно, таким образом, выразить напряжение через две аналитические функции. Не приводя вывода, дадим лишь окончательный результат. Пользуясь обозначениями формулы (161), будем иметь

При помощи этих формул решение статических плоских задач теории упругости при заданных напряжениях на контуре также сводится к решению предельной задачи теории функций комплексного переменного.

Выяснение связи теории функций комплексного переменного с плоскими статическими задачами теории упругости было дано проф. Г. В. Колосовым в работе «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости». Систематическое применение функций комплексного переменного к задачам теории упругости можно найти в книге Н. И. Мусхелишвили «Некоторые основные задачи математической теории упругости» (1966).