84. Степенные ряды.

Степенной ряд от двух независимых переменных с центрами имеет вид

где переменные суммирования и q независимо друг от друга пробегают все целые положительные значения, начиная с нуля. Ряд (4) является двойным рядом.

Такие ряды мы рассматривали выше [I, 142] для того случая, <огда члены ряда суть вещественные числа.

Положим, что сходится ряд, составленный из модулей членов ряда

В этом случае, как мы видели в ряды, составленные из вещественных и мнимых частей членов ряда (4), будут абсолютно сходящимися, и суммы этих двойных рядов с вещественными членами не будут зависеть от того, в каком порядке мы производим суммирование этих двойных рядов. Следовательно, в этом случае, т. е. при сходимости ряда (5), ряд (4) будет сходящимся, и его сумма будет вполне определенной при любом порядке суммирования этого двойного ряда. В дальнейшем мы и будем только рассматривать тот случай, когда сходится ряд (5), т. е. когда ряд (4) будет абсолютно сходящимся.

Нетрудно совершенно так же, как и в [13], установить теорему, аналогичную теореме Абеля. Положим, что ряд (4) абсолютно сходится при . Отсюда непосредственно следует, что члены этого ряда при указанных значениях независимых переменных должны оставаться ограниченными по модулю, т. е. что существует такое число , что при любых значках имеет место неравенство

или

Рассмотрим теперь два круга для переменных и

Первый из них содержит те точки которые ближе к чем и второй — те точки которые ближе к b чем а.

Возьмем некоторую точку из круга и некоторую точку из круга , т. е.

где . При этом, пользуясь (6), мы Получим следующую оценку для модулей членов ряда (4):

Но нетрудно видеть, что двойной ряд с положительными членами

будет сходящимся. Действительно, этот ряд получается путем перемножения двух рядов с положительными членами [I, 138]

и его сумма равна, очевидно,

Таким образом, в рассматриваемом случае ряд (5) будет сходящимся, а ряд (4) абсолютно сходящимся. Из оценки (8) вытекает также, что ряд (4) будет равномерно-сходящимся в кругах , имеющих центры и радиусы меньшие, чем и по существу мы пользовались при доказательстве не абсолютной сходимостью ряда (4) при а неравенством

т. е. ограниченностью членов этого ряда при

Мы приходим, таким образом, к следующему свойству: если все члены ряда (4) при ограничены по модулю одним и тем же числом, то ряд (4) абсолютно сходится внутри круговой бицилиндрической области (7) и равномерно сходится в круговой бицилиндрической области

Отметим, что если для ряд (4) сходится (не обязательно абсолютно) при каком-либо порядке суммирования, то его члены по мере удаления от начала стремятся к нулю и поэтому ограничены по модулю одним и тем же числом.

Из сказанного выше мы приходим, как и в [13], к понятию о радиусах сходимости ряда. В данном случае мы будем иметь сопряженные радиусы сходимости ряда (4).

Приведем их точное определение. Два положительных числа и называются сопряженными радиусами сходимости ряда если этот ряд сходится в бицилиндре и не сходится в бицилиндре , где или . При уменьшении одного радиуса другой радиус сходимости может увеличиться. Как и в [13], можно оговорить специальные случаи .

В качестве примера рассмотрим ряд

Рядом (5) будет ряд

Соединим в одну группу все члены этого ряда, у которых сумма равна заданному числу s. Согласно формуле бинома Ньютона, сумма этих членов будет

и ряд (10) мы можем переписать в виде

откуда непосредственно следует, что он сходится тогда и только тогда, когда Таким образом, для ряда (9) совместные сопряженные радиусы сходимости определяются равенством Взяв, например, , где будем иметь . Если взять , т. е. положить в , то получим ряд

ДЛЯ которого

В качестве второго примера рассмотрим ряд

Как нетрудно видеть, условие сходимости выражается неравенствами и и сопряженные радиусы сходимости определяются каждый в отдельности. Но при ряд сходится на всей плоскости он обращается в полином

Рассмотрим ряд (4). В силу равномерной сходимости и теоремы Вейерштрасса сумма ряда (4) внутри совместных кругов сходимости представляет собою регулярную функцию двух переменных. Так же, как и в [13], ряд (4) можно дифференцировать по обеим переменным сколько угодно раз внутри кругов сходимости, и это дифференцирование не меняет кругов сходимости.

Дифференцируя несколько раз и полагая затем получим, как и в для коэффициентов ряда следующие выражения:

т. е. ряд (4) представляет собою ряд Тэйлора для функции .

Если — совместные радиусы сходимости ряда (4), то этот ряд абсолютно и равномерно сходится при , где — любое малое фиксированное положительное число. При этом, согласно (3) и (11), мы будем иметь для коэффициентов ряда оценку

где М — некоторая положительная постоянная, значение которой очевидно, зависит от того, каким мы выбрали .

Заменим в ряде (4) коэффициенты положительными числами, которые превосходят модули при этом мы получим степенной ряд

который называется обычно превосходящим или мажорантным для ряда (4). Ряд (13), как нетрудно видеть, имеет сумму, равную

и эта последняя функция называется мажорантной функцией для ряда (4). Ее разложение в степенной ряд по степеням имеет положительные коэффициенты, большие, чем модули коэффициентов

Нетрудно обобщить на случай двух переменных и результаты [14]. Пусть функция, регулярная в кругах и с центрами и пусть окружности этих кругов. Предполагая регулярность в замкнутых кругах и фиксируя две какие-нибудь точки внутри упомянутых кругов, мы будем иметь формулу Коши

Рассмотрим рациональную дробь

Как и в [14], мы можем разложить ее по степеням разностей в ряд

равномерно сходящийся относительно и если эти последние находятся на окружностях Подставляя это выражение в формулу (15) и интегрируя почленно, мы и придем к представлению нашей функции внутри упомянутых кругов в виде степенного ряда

Коэффициенты этого ряда определяются по формулам

Таким образом, всякая функция регулярная внутри двух кругов, разлагается внутри этих кругов в степенной ряд. Нетрудно видеть, как и в [14], что это разложение единственно, ибо коэффициенты его определяются обязательно формулой (11).

Мы можем в ряде (4) соединить в одну группу члены одинакового измерения относительно разностей т. е. написать ряд (4) в виде

где внутренняя конечная сумма распространяется на те значения и q, сумма которых равна s. Формула (18) дает нам внутри кругов сходимости представление функции в виде суммы однородных полиномов относительно . Положим теперь наоборот, что ряд (18), расположенный по однородным полиномам, будет равномерно сходиться в некоторых кругах, Согласно теореме Вейерштрасса, сумма этого ряда будет регулярной функцией в этих кругах.

Мы можем, кроме того, в данном случае дифференцировать наш ряд (18) сколько угодно раз по обеим переменным. Совершая это дифференцирование и полагая затем получим для коэффициентов формулы (11), т. е. эти коэффициенты будут коэффициентами ряда Тейлора для функции и мы можем переписать ряд (18), расположенный по однородным полиномам, в виде двойного ряда (4), причем этот ряд будет абсолютно и равномерно сходиться внутри упомянутых кругов. Таким образом, мы можем утверждать, что из равномерной сходимости ряда, расположенного по однородным полиномам, внутри некоторых кругов, следует, что мы можем переписать этот ряд просто в виде двойного ряда, который будет обычным степенным рядом, абсолютно сходящимся внутри упомянутых кругов.

Если отделить вещественную и мнимую части, то в четырехмерном пространстве с координатами область равномерной сходимости ряда (18), расположенного по однородным полиномам, может быть более широкой, чем, у ряда (4).

В случае (9) ряд (18) будет иметь вид

и область его равномерной сходимости определяется неравенством

т. е.

Для ряда (9) мы должны иметь что приводит в к неравенству

Нетрудно видеть, что неравенство (19) определяет в более широкую область сходимости, чем (20), т. е. из (20) следует (19), но не наоборот. Мы не рассматриваем общего вопроса об области сходимости ряда (4) в Все сказанное выше легко переносится и на случай степенных рядов от комплексных переменных.

Напомним, что если функция регулярна в некотором круге то существует такое целое что где регулярна в круге и отлична в нем от нуля. Для случая многих комплексных переменных имеется аналогичная теорема Вейерштрасса:

Теорема. регулярна в бицилиндре , то существует такое целое , кто в некотором бицилиндре

где регулярны в круге круговом бицилиндре причем .