88. Умножение степенных рядов. Обращение степенного ряда.

Пусть имеются два степенных ряда

абсолютно сходящихся в области (36). Составим новую матрицу, которая получается от перемножения их сумм

Элементы этой матрицы будут определяться формулами

где

Ввиду абсолютной сходимости этих последних рядов мы можем перемножить их почленно так, что для элементов матрицы Y будем иметь согласно (38)

саму матрицу можно представить в виде

Отсюда следует, что абсолютно сходящиеся степенные ряды матриц перемножаются, как обычные степенные ряды численных переменных, причем произведение не зависит от порядка сомно жителей.

Перейдем теперь к вопросу о построении функции, обратной заданной функции определяемой некоторым степенным рядом

причем будем считать, что в этом ряде коэффициент отличен от нуля.

Рассмотрим степенной ряд обычной комплексной переменной

Как мы знаем, при условии существует единственный степенной ряд

определяющий функцию, обратную (40) в некоторой окрестности Если подставим ряд (41) в правую часть формулы (40):

возведем написанные ряды в указанные степени, согласно правилу перемножения рядов, и сделаем приведение подобных членов, собирая вместе члены с одинаковыми степенями (), то придем к тождеству . Если во всех предыдущих вычислениях заменим матрицей X и w матрицей У, то все предыдущие вычисления с матричными степенными рядами, расположенными по степеням разности будут такими же, что и операции со степенными рядами от численной переменной (), следовательно, и результат будет тем же самым, т. е. при условии степенной ряд (39), определенный в окрестности допускает единственное обращение вида

причем этот последний ряд будет абсолютно сходиться в некоторой окрестности

Эта окрестность определяется, очевидно, по радиусу сходимости ряда (41).

Применим предыдущее рассуждение к частному случаю ряда

Обращение этого ряда, дающее функцию приводит, как известно, к степенному ряду

сходящемуся в круге

Таким образом, обращение показательной функции

приводит нас к определению логарифма матрицы в виде степенного ряда

абсолютно сходящегося в области

Матричное уравнение

относительно X имеет при заданном У бесчисленное множество решений. Ряд (44) дает одно из решений этого уравнения, а именно он дает то решение, которое является регулярной функцией от У в окрестности единичной матрицы и обращается в нулевую матрицу при . Вопрос об остальных решениях уравнения как в окрестности единичной матрицы, так и вне этой окрестности, связан с вопросом об аналитическом продолжении ряда (44), или, что то же, с вопросом об аналитическом продолжении тех обычных степенных рядов, которым эквивалентен ряд (44). Мы будем заниматься этим вопросом в дальнейшем.

Обратимся теперь к определению степенной функции от матрицы. Она определяется с помощью логарифма матрицы следующим образом:

Если мы имеем численное перемвшое

то, подставляя в разложение показательной функции

и совершая подстановку

лолучим степенной ряд вида

сходящийся при Принимая во внимание упомянутое совладение формальных операций и для степенных рядов с одной матрицей, получим

причем это разложение будет абсолютно сходящимся в области