159. Производящая функция.

Принимая во внимание (14) и пользуясь формулой Коши, выражающей производную функции в виде контурного интеграла, мы можем написать

где есть любой простой замкнутый контур, обходящий вокруг точки Введем вместо z новую переменную интегрирования t по формуле

Совершая замену переменных в интеграле и сокращая обе части на множитель , получим

где есть простой замкнутый контур, обходящий вокруг начала. Из этой формулы непосредственно вытекает, что есть коэффициент при в разложении функции

в ряд Маклорена, т. е. функция (20) является производящей функцией для полиномов Эрмита, умноженных на постоянный множитель

Из этой формулы легко получаются основные соотношения для полиномов Эрмита. Дифференцируя тождество (21) по с, будем иметь

или

и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем соотношение

Продифференцируем теперь тождество (21) по

или

откуда опять сравнением коэффициентов получаем еще следующее соотношение:

Определим, наконец, свободный член в полиномах Эрмита, т. е. При нечетном это будет, очевидно, нуль, так как нечетный полином Эрмита содержит только нечетные степени Для четного имеем прежде всего Затем формула (23) при дает

Та же формула при дает

Далее, при получаем

и вообще

Отметим еще, что если применить к формуле (14) несколько раз теорему Ролля, то можно показать, что все корни вещественны и различны. Совершенно аналогичные рассуждения мы применяли в [1051, чтобы показать, что все корни различны и находятся в промежутке

Иногда вводят полиномы Эрмита несколько иначе, чем это мы сделали выше, а именно вместо формулы (14) определяют полиномы Эрмита формулой

Разница получается лишь в постоянных множителях, из которых один стоит перед полиномом, а другой относится к аргументу .