113. Асимптотические разложения решений, полученных преобразованием Лапласа.

Мы займемся теперь выводом асимптотических разложений решений уравнений вида (112), представляемых интегралами (128). Напомним, что эти решения были определены нами при

Начнем с первого из них. Вводим вместо новую переменную интегрирования по формуле и полагаем для сокращения . Мы считали при выводе формул (128), что мнимые части , а различны и тем самым не есть вещественное число. После

указанных преобразований решение примет вид

где контур, идущий из и обходящий вокруг начала . Подинтегральная функция имеет точки разветвления и . Вместо рис. 68 мы будем иметь на плоскости t два разреза, идущих из к точкам причем при 0 и при т. е. на продолжениях этих разрезов.

Применяя формулу бинома Ньютона, мы будем иметь при

где

В силу указанного выше условия относительно аргумента на плоскости t с разрезом из мы должны считать, что в выражении равном значению функции (164) при аргумент заключается в пределах

причем мы считаем, что отлично от вещественного отрицательного числа.

Если то формулой (164) пользоваться нельзя, и в этом случае мы будем просто писать

где

Пользуясь последними формулами, можно написать

Рассмотрим сумму, стоящую в правой части. Вводя вместо t новую переменную интегрирования по формуле

приведем интеграл к виду

Кратко опишем идею последующих вычислений. Интегралы, стоящие под знаком суммы, имеют, как мы сейчас покажем, вид , где с — некоторая постоянная (не зависящая от k), и эта сумма вместе с множителем ебудет иметь вид

Остается оценить последнее слагаемое. Мы покажем, что оно имеет вид произведения , где при Существенным при этом доказательстве будет тот факт, что имеет лишь степенной рост при а множитель убывает по показательному закону при . Остается в силу этого оценить соответствующий интеграл, когда переменная интегрирования находится вблизи (при обходе этой точки). Таким образом, формула (168) перепишется в виде

где при . Это приводит к асимптотическому разложению решения или, точнее говоря, к асимптотическому разложению вида

Кратко говоря, оно получается, если в интеграле (163) разложить множитель

в ряд по биному Ньютона, не считаясь с тем, что при этот ряд будет расходящимся. Асимптотичность разложения (170) получается за счет множителя убывающего по показательному закону при . Проделаем все выкладки и оценки. Вводим в интегралы, входящие в формулу (168), вместо t новую переменную интегрирования :

Для упрощения дальнейшего будем считать, что z находится на луче что несущественно. Важно лишь, что т. е. что выполнено условие (170). Преобразованию (171) соответствует поворот плоскости t на угол против часовой стрелки, так что разрез (на плоскости t) из переходит в разрез, идущий из и нижний берег первого разреза переходит в верхний берег второго, где надо считать . Упомянутые интегралы на плоскости берутся по контуру X, идущему по упомянутому разрезу из с обходом точки против часовой стрелки.

Совершая преобразование в интегралах, входящих в формулу (168), получим

и, используя формулу (150) из [74], будем иметь

и формула (168) дает

и для того чтобы доказать, что

при остается доказать, что

Наметим соответствующие оценки. Контур выберем следующим образом: путь от до вдоль верхнего берега вещественной оси, окружность С с центром и радиусом и путь от до вдоль нижнего берега вещественной оси.

Положительное число фиксировано так, что . Принимая во внимание указанный порядок роста и неравенство на прямолинейных частях для суммы соответствующих интегралов

получаем оценку

где любая малая постоянная и некоторая положительная постоянная. Из приведенной оценки видно, что сумма этих интегралов стремится к нулю при . Остается рассмотреть выражение

На С мы можем использовать разложение (164) и согласно неравенству Коши будем иметь оценку

где — постоянная и можно считать, например, равным

Далее имеем

Обозначая получаем оценку

которая имеет место, очевидно, при 111 г. Вводя новую переменную интегрирования получим

где окружность Согласно теореме Коши мы можем вместо взять за контур интегрирования любой замкнутый контур, выходящий из точки вещественной оси, обходящий вокруг и находящийся внутри . При этом для будет иметь место оценка (175). Возьмем следующий контур интегрирования: отрезок вещественной оси от точки до фиксированной точки окружность и отрезок от до

Оценим выражение (176), пользуясь (175):

где - дифференциал дуги контура, и покажем, что множитель при остается ограниченным при Действительно, интегрирование по окружности радиуса не зависит от z. Рассмотрим еще интеграл по отрезку Это даст следующий множитель при в правой части (177):

где или . Написанный интеграл сходится на промежутке , и, следовательно, интеграл (178) остается ограниченным при . То же, следовательно, можно утверждать и об интеграле из (177).

Таким образом, мы можем утверждать, что интеграл (176) стремится к нулю при и что на луче имеет место асимптотическое разложение

где

Мы считаем p отличным от целого числа.

Совершенно аналогично для второго решения получаем

где

Для степеней надо считать при . Мы проводили все оценки в предположении . Но нетрудно показать, как мы это упоминали выше, что формулы сохраняются и при предположении

Принимая во внимание сказанное в [109] относительно возможности поворота разрезов, нетрудно и дальше расширить область, в которой имеют место упомянутые формулы.