114. Асимптотические разложения решений уравнения Бесселя.

Сказанное в [110] непосредственно применимо к решениям уравнения (133). Для них получаем

Символ при целом определяется следующим образом:

Для решения и имеем формулу [109]

Используем сказанное выше о возможности поворота разрезов. Пусть а — угол, образованный разрезом из точки с положительным направлением вещественной оси. Принимая во внимание необходимость того, что показатель в формулах (136) должен иметь отрицательную вещественную часть, получаем неравенство

или

Далее, учитывая требование, чтобы разрез при повороте не пересекал точки получим и окончательно для z получаем следующий сектор, в котором имеет место асимптотическая формула для

Совершенно аналогично для

Отметим, что оба сектора имеют угол т. е. налегают сами на себя. В дальнейшем мы вернемся к объяснению этого. Функция Ханкеля определяемая формулой (146), отличается от множителем

Используя асимптотическое разложение (183), после несложных преобразований и переноса всех множителей при в правую часть, получим

и аналогично

Вводя обозначения

и

можем написать

Эти формулы имеют место для всех значений , если z заключается в указанных выше секторах.

Отметим, что если , где — целое число, то ряды обрываются и выражаются в конечном виде.

Бесконечные суммы надо заменить, например, для на

и аналогично для .

При получаем

Полусумма разложений (185) дает разложение . При этом слагаемые с четным k дают а с нечетным дают

На луче в первом приближении получаем

При замене на надо иметь в виду четность

Рассмотрим теперь некоторые особенности полученных асимптотических разложений. Отметим прежде всего, что многозначный множитель , входящий в асимптотические формулы, не характеризует поведения функции при обходе вокруг точки . Для уравнения Бесселя, имеющего лишь две особые точки и обход точки равносилен обходу регулярной особой точки корни определяющего уравнения в которой, равны . Если отлично от целого числа, то линейно независимые решения приобретают множители

Рассмотрим теперь асимптотическую формулу для (2), имеющую место в секторе (184). В этом секторе при обходе вокруг (или, что-то же, ) после полного обхода на угол точка вновь возвращается в третий и четвертый координатный угол. В этом секторе мнимая часть имеет вид где и из асимптотической формулы (185) мы видим», что показательный множитель в асимптотической формуле для возрастает, а для убывает по показательному закону при возрастании . С другой стороны, можно показать, что при указанном обходе будет иметь в упомянутом секторе следующее выражение через линейно независимые решения

В силу сказанного выше асимптотической формулой для можно пренебречь наряду с так как асимптотическая формула для дает при больших величину более низкого порядка, чем оценка остатка ряда после любого члена разложения в Н(z). Знак минус при получится при упомянутом обходе от множителя , входящего в асимптотическую формулу (2).

Отметим еще возможность получения асимптотических разложений для в различных секторах. Напомним, что разложение (187) было получено в секторе Мы можем получить разложение в секторе из очевидной формулы ибо при изменении в секторе мы имеем . Подставляя в вместо , после несложных преобразований получим

Это разложение в секторе отличается от (187). Укажем на причину этого. Разложение (187) было получено из формулы

причем разложение имело место в секторе не содержащем сектора . Для получения разложения в это последнем секторе надо использовать формулу

Полученное из этой формулы разложение которое мы не выписываем, будет отлично на общем промежутке от (185), но их разность благодаря множителю будет более низкого порядка при большом чем оценка остатка ряда после любого члена разложения в формуле (185). Этим и объясняется разница разложений (187) и (189) в секторе

Приведем общий результат, касающийся разложения в различных секторах с углом

где постоянные имеют различные значения в различных секторах, а именно:

при

при ( — целое число).

Указанное скачкообразное изменение называется обычно явлением Стокса. Оно имеет место не только для функций Бесселя.