15. Ряд Лорана.

Нетрудно получить результаты, аналогичные предыдущим, и для степенных рядов более общего типа:

содержащих не только целые положительные, но и целые отрицательные степени (z — b). Ряд вида (65) называется обычно рядом Лорана. Займемся прежде всего вопросом определения его области сходимости. Ряд (65) состоит из двух рядов:

и

и нам надо определить ту область, где оба последних ряда сходятся; она и будет областью сходимости ряда (65).

Ряд (66) есть обычный степенной ряд рассмотренного выше типа, и его область сходимости есть некоторый круг с центром в b. Пусть это будет круг Для рассмотрения ряда (662) введем вместо z новую переменную по формуле . После этого ряд (662) превратится в обычный степенной ряд вида

Его область сходимости на плоскости есть некоторый круг с центром в начале (роль числа b играет нуль). Обозначим радиус этого круга через так что область сходимости последнего ряда будет или Возвращаясь к прежней переменной получим область сходимости вида . Таким образом, область сходимости всего ряда (65) определяется двумя неравенствами:

Первое неравенство определяет внутреннюю часть круга с центром b и радиусом и это есть область сходимости ряда (66. Второе из неравенств (67) определяет часть плоскости, находящуюся вне круга с центром b и радиусом и это есть область сходимости ряда (662). Если то неравенства (67) не определяют никакой области. Если то неравенства (67) определяют круговое кольцо

ограниченное концентрическими окружностями с центром b, радиусами . Таким образом, область сходимости ряда вида (65) есть круговое кольцо (68).

Выше мы разбили ряд (65) на два степенных ряда, и из теории степенных рядов непосредственно следует, что ряд (65) сходится внутри своего кольца сходимости абсолютно и равномерно, сумма ряда есть регулярная функция и ряд можно почленно дифференцировать. Заметим, что в неравенстве (68), определяющем размеры кольца, внутренний радиус может оказаться равным нулю, и при этом ряд (65) будет сходиться при всех z, достаточно близких к b. Точно так же внешний радиус может оказаться равным бесконечности, и при этом ряд (65) будет сходиться при всех z, удовлетворяющих условию Если кольцо определяется неравенством , то ряд (65) сходится на всей плоскости z за исключением точки

Отметим еще, что часть ряда Лорана (65), содержащая положительные степени сходится не только в кольце (68), но везде внутри внешней окружности, т. е. при часть ряда, содержащая отрицательные степени сходится везде вне внутренней окружности, т. е. при

Если, например, в ряде конечное число членов с отрицательными степенями, то обязательно , а если конечное число членов с положительными степенями, то обязательно Отметим еще раз, что мы рассматриваем только такие ряды Лорана, для которых ибо в противном случае у них нет никакой области сходимости.

Рис. 10.

Совершенно так же, как и для степенных рядов, докажем предложение, обратное предыдущему, а именно: если регулярна внутри кольца (68), то она может быть представлена внутри этого кольца рядом Лорана и притом единственным образом.

Немного сжимая внешнюю окружность кольца и немного расширяя внутреннюю окружность, мы можем считать, что регулярна и на обоих контурах кольца.

Обозначим эти контуры через Для любой точки z внутри кольца будем иметь формулу Коши (рис. 10):

При интегрировании по окружности мы имеем

и так же, как и при выводе формулы Тейлора, можем представит дробь, входящую под знак интеграла, в виде ряда, равномерно сходящегося на окружности С:

Умножая на

и интегрируя по С, мы получим для первого слагаемого правой части формулы (69) представление в виде степенного ряда по положительным степеням (z — b):

где

При интегрировании по наоборот, будем иметь

и для упомянутой выше дроби мы должны написать уже другое разложение, равномерно сходящееся на окружности

откуда, умножая опять на множитель (70), получим представление второго слагаемого правой части формулы (69) в виде степенного ряда по целым отрицательным степеням :

где

Соединяя оба слагаемых вместе, получим для функции внутри кольца (68) представление в виде ряда Лорана

Остается показать, что такое разложение единственно. Для этого, как и в случае ряда Тейлора, покажем, что из формулы (71) получаются вполне определенные выражения для коэффициентов разложения Пусть - некоторый замкнутый контур, обходящий вокруг b внутри кольца (68). На этом контуре ряд (71) сходится равномерно. Выберем некоторое целое число помножим обе части равенства (71) на и проинтегрируем по l против часовой стрелки:

Мы знаем [6], что все интегралы, стоящие в правой части, будут равны нулю, кроме одного, который будет содержать под знаком аинтеграла

Такой интеграл получится в члене, соответствуюшем и его величина, как известно, будет равна Таким образом, предыдущая формула дает нам

откуда и получаются определенные выражения для коэффициентов

(72)