54. Дифракция плоской волны.

Рассмотрим плоскость на которой сделан вырез вдоль полупрямой где . Полошим, далее, что в оставшейся части плоскости при мы имеем плоскую волну, которая распространяется параллельно ОХ со скоростью — так, что в момент она доходит до вершины выреза (начала координат). Положим, что эта плоская волна имеет следующую элементарную форму:

т. е. позади фронта распространения и имеет постоянное значение единица, а впереди фронта, куда возмущение еще не дошло,

В данном случае при функция и удовлетворяет уравнению (173), и, кроме того, будет являться, очевидно, решением однородного уравнения, зависящим только от и определяемым условиями:

фронт этой волны распространяется со скоростью как и должно быть для волнового уравнения (173).

Рассмотрим теперь вопрос о дифракции плоской волны (190) относительно упомянутого выреза, причем будем считать, что и после дифракции, т. е. при волна будет представляться однородным решением уравнения (173), т. е. вещественной частью некоторой аналитической функции комплексного переменного определяемого уравнением (189).

Такое предположение является вполне естественным, поскольку линия, которая вызывает дифракцию, является вырезом с вершиной в начале. Будем считать что на обеих сторонах выреза должно быть выполнено условие

В момент наша плоская волна дойдет до вершины, и затем будет иметь место явление дифракции. Рассмотрим некоторый положительный момент времени Принимая во внимание, что скорость распространения возмущения для случая волнового уравнения (173) равна мы будем иметь в указанный момент следующую картину возмущений. Прежде всего, мы будем иметь прямолинейный фронт ABCD, разорванный на две части препятствием, через которое этот фронт прошел. Линия этого фронта перпендикулярна к оси причем

Рис. 51.

Дальше мы будем иметь прямолинейный фронт, который будет создаваться волной, отраженной по обычному закону от границы (рис. 51). Это будет прямая ЕС, параллельная оси X. Кроме того, наличие вершины О создает добавочное возмущение в круге с центром в начале и радиусом — t. Основным пунктом задачи и является определение функции и внутри этого круга. Отметим сначала ту картину значений и, которая будет иметь место вне этого круга. Спереди от линии ABF внизу выреза мы будем иметь, очевидно, . Сверху того же выреза, очевидно, спереди от линии CD. Кроме того, в части плоскости, ограниченной контуром ECFE, к падающей волне будет присоединяться отраженная, и в силу предельного условия (192) мы будем иметь и здесь . В части плоскости, лежащей вне упомянутого круга позади фронта волны, всюду за исключением указанной области ECFE. Круг с центром в начале и радиусом — t есть как раз круг (184). Только в данном случае он разрезан по радиусу

Переходя на плоскость z, согласно (189) будем иметь единичный круг разрезанный по радиусу Как мы уже видели выше, радиусам круга (184) соответствуют радиусы единичного круга с тем же центральным углом.

Принимая во внимание упомянутые выше значения и и предельные условия и переходя на плоскость z, мы придем к следующей задаче: найти функцию регулярную в разрезанном круге такую, чтобы ее вещественная часть обращалась в нуль на обоих

берегах разреза, т. е. на радиусах

а также на дугах

и была равна единице на остальной части окружности Нетрудно написать в явном виде решение этой задачи.

Повернув плоскость вокруг начала на угол те:

получим круг разрезанный вдоль радиуса При извлечении квадратного корня этот разрез перейдет в отрезок вещественной оси, и весь круг перейдет в верхнюю часть единичного круга. Таким образом, преобразование

переводит наш разрезанный круг плоскости z в верхний полукруг плоскости w. Граничные условия для искомой функции при этом будут: вещественная часть равна нулю на отрезке вещественной оси, и

Таким образом, преобразует отрезок вещественной оси в отрезок мнимой оси и по принципу симметрии аналитически продолжима в нижнюю часть единичного круга, причем в точках симметричных относительно вещественной оси, она принимает значения, симметричные относительно мнимой оси [24].

Это приводит нас к следующему равенству:

Прнняв это во внимание, мы переходим к следующим граничным условиям для на окружности единичного круга:

Для построения решений этой предельной задачи рассмотрим функцию

где — точки единичной окружности, находящиеся на концах одного и того же диаметра АВ (рис. 52).

Рис. 52.

Пусть переменная точка w. Вещественная часть

представляет собою угол, образованный вектором МА с вектором МБ и отсчитываемый от . Функция (194) однозначна и регулярна в круге . При ее значение, с точностью до кратного равно . Мы будем считать его равным и, таким образом, фиксируем определенную ветвь функции (194) в круге При таком выборе ветви будем иметь

где для обоих логарифмов берутся главные значения, определяемые обычным степенным рядом. Если w попадает на дугу АРВ, то упомянутый угол ВМА будет равен а на дуге AQB он будет равен т. е. при сделанном выборе однозначной ветви функции (194) в круге ее вещественная часть будет равна на дуге АРВ и на дуге .

Применим этот результат к функции

Обозначая через точки

мы можем утверждать, что вещественная часть равна на дугах равна на дуге и на дуге Принимая это во внимание, мы непосредственно получаем решение предельной задачи (193) в следующем виде:

Возвращаясь к прежней переменной , имеем решение задачи дифракции внутри круга

в виде

Предыдущие рассуждения не являются строго обоснованными, и само понятие об элементарной плоской волне равной единице позади фронта и нулю впереди фронта, представляется на первый взгляд несколько искусственным. Однако можно показать, что всякую плоскую волну можно представить в виде интеграла, содержащего элементарную плоскую волну. Полученный результат можно с помощью этих соображений распространить на дифракцию самой общей плоской волны, приведя эту задачу к рассмотренной задаче.

Рассмотрим общий вид плоской волны, движущейся параллельно оси X. Такая волна задается функцией причем считаем, что при . Функция очевидно, удовлетворяет уравнению Выше нами рассмотрен тот элементарный частный случай, когда при при . В этом частном случае функцию обозначим через , как это уже было сделано в формуле (190):

Положим теперь, что есть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную и равная нулю при . Мы можем написать

Действительно, принимая во внимание определение и и условие , получим

Таким образом, можно написать

Как видно из этой формулы, падающая плоская волна общего типа оказывается «суммою» (точнее, интегралом) элементарных падающих волн:

Если через мы обозначим полученный выше результат дифракции элементарной волны, то для случая падающей волны будем

иметь решение вида

Ограничимся рассмотрением результата дифракции относительно начала координат и через обозначим именно этот результат дифракции.

При он имеет место в круге с центром в начале и радиусом , т. е. мы должны считать при для любых и, кроме того, при для Таким образом, в выражении для V интеграл по X будет распространен фактически по конечному промежутку изменения X.

При помощи приведенного выше метода может быть решена задача дифракции относительно угла любой величины плоской волны, падающей в произвольном направлении.