150. Разложение функций Неймана с целым значком.
При целом значке решения 
будут линейно зависимыми, и за второе линейно независимое решение мы можем взять 
Представляет интерес поэтому вывести разложение для этого решения, справедливое на всей плоскости. Согласно общей теории Фукса, это разложение должно, кроме целых степеней z, содержать еще ln z.
Предварительно выясним некоторые формулы, относящиеся к функции Г(z). Мы имели для этой функции следующее бесконечное произведение Вейерштрасса:
где С — постоянная Эйлера. Как известно [68], мы можем написать логарифмическую производную для этого произведения по тем же правилам, что и для конечного произведения. Отсюда
полагая 
, где n — некоторое целое положительное число, получим
или
Далее имеем 
и, следовательно,
и при 
получим 
, а потому
Займемся теперь тем случаем, когда t равно целому отрицательному числу или нулю. Мы знаем, что 
имеет в точке 
полюс первого 
порядка с вычетом - 
, т. е. мы имеем вблизи этой точки разложение
или
Отсюда при помощи простого дифференцирования находим
Обратимся теперь к нахождению разложения решения 
определяемого формулой (60). Мы имеем
и, дифференцируя по параметру 
получим
Мы должны положить затем 
причем будрм иметь
и
Подставляя в формулу (60) и пользуясь формулами (67) и (69), получим окончательно при 1
