78. Метод скорейшего спуска.
Изложим в следующих номерах метод приближенного вычисления контурных интегралов определенного типа. Предварительно мы выясним некоторые вопросы, связанные с изменением вещественной и мнимой частей регулярной функции. Пусть в области В имеется функция
В каждой точке В, в которой производная 
отлична от нуля, будет существовать направление 
в котором и 
меняется наиболее быстро. Это направление 
есть направление вектора 
и производная, взятая в этом направлении (и в противоположном направлении), имеет наибольшее по абсолютной величине значение. Производная от и 
в направлении 
, перпендикулярном к 
равна, очевидно, нулю [II, 108]. Поле направлений 
определяет линии уровня и 
а ортогональное поле 
определяет семейство ортогональных траекторий к этим линиям уровня, т. е. семейство 
Таким образом, можно сказать, что в каждой точке, где 
отлично от нуля, и 
изменяется наиболее быстро вдоль линии 
Отметим, что при этом 
вдоль упомянутой линии отлично от нуля. Если бы оказалось, что в некоторой точке не только 
но и 
равно нулю, то в этой точке производная от и по любому направлению была бы равна нулю, а отсюда следует, что в этой точке и производная 
обращается в нуль.
Исследуем теперь расположение наших линий в окрестности точки 
в которой 
Мы имеем в окрестности такой точки
Обозначая
и приравнивая вещественную и мнимую части разности 
нулю, получим следующие уравнения линий и 
в окрестности 
Рассмотрим уравнение (182). При 
получаем 
т. е.
где 
— любое целое число. Полагая 
получаем все различные решения уравнения (182) относительно 
при 
Нетрудно видеть, что
и, следовательно, согласно теореме о неявных функциях [I, 159], уравнение 
имеет 
решений для 
непрерывных по отношению к 
и стремящихся к 
при 
т. е. уравнению (182) соответствуют 
линий, выходящих из точки 
и имеющих в этой точке касательные с аргументами <от. Но 
и мы будем иметь 
линий, проходящих через точку 
и имеющих в этой точке определенную касательную. Эти линии разобьют окрестность 
на 
криволинейных секторов с одинаковыми углами — при вершине. Внутри этих секторов, в окрестности 
мы будем иметь попеременно 
а именно:
Это следует непосредственно из того, что знак левой части уравнения (182) при заданном 
, отличном от (184), и 
достаточно близком к нулю определяется знаком первого слагаемого.
Рассматривая совершенно так же уравнение (183), мы убедимся в том, что это уравнение определяет 
линий, проходящих через точку 
причем касательные к этим линиям служат биссектрисами углов, определяемых касательными к линиям (182).
Точку 
назовем седловой точкой, секторы 
отрицательными секторами и секторы 
положительными секторами.
При нумерации секторов (число 
) мы, естественно, считаем, что 
- фиксированное число. При добавлении к 
слагаемого, кратного 
меняется лишь нумерация секторов. Рассмотрим отрицательный сектор с номером 
Линия 
имеющая уравнение 
и расположенная в этом секторе вблизи точки 
чимеет в точке 
касательную, являющуюся биссектрисой угла этого сектора, и угол наклона этой касательной, как нетрудно видеть, равен
Внутри этого сектора 
, а линия l есть линия скорейшего убывания в точке 
функции и 
Все это относится к некоторой окрестности точки 
Применим сказанное выше к вычислению интегралов вида
где 
функции 
регулярны в окрестности точки 
— большое положительное число. Положим, что контур 
начало в точке 
и расположен в окрестности 
в отрицательном секторе с номером 
Согласно теореме Коши мы можем считать, что контур l расположен в окрестности 
вдоль линии 
При этом 
имеет при большом 
в точке 
резкий максимум. Линия 
есть линия скорейшего спуска, т. е. быстрейшего уменьшения 
и надо ожидать, что главную часть интегралу (186) даст интегрирование по малому участку линии l вблизи точки 
