174. Разложение целой периодической функции.
Целая функция 
не имеет вовсе периодов. Дальше мы покажем, что, присоединяя к ней некоторый множитель показательного типа, мы можем получить целую функцию, обладающую периодом. Сейчас мы рассмотрим общий случай целой функции с периодом и выведем разложение для такой функции. Это разложение может быть написано или в виде степенного ряда или в виде ряда Фурье [ср. 119].
Рис. 82.
Положим, что целая функция 
имеет период 
, т. е. при любом комплексном и
Проведем через начало вектор 
и две прямые, перпендикулярные к этому вектору и проходящие через его начало и его конец (рис. 82). Эти две прямые образуют полосу периода функции 
Прямая CD получается из прямой АВ при помощи преобразования 
Совершим над плоскостью и преобразование 
На плоскости 
наша полоса перейдет в полосу, ограниченную прямыми 
. Если мы затем совершим преобразование
то на новой плоскости С наша полоса изобразится всей плоскостью с исключенной точкой 
и с разрезом вдоль положительной части вещественной оси 
Два берега разреза соответствуют прямым, образующим первоначальную полосу на плоскости и, причем соответствующим точкам на этих двух берегах отвечают значения и, связанные соотношением 
. В силу (72) наша функция имеет одинаковые значения на обоих берегах разреза, а следовательно, одинаковыми будут и значения производных всех порядков, т. е., короче
говоря, наша функция будет регулярной и однозначной не только на разрезанной плоскости С, но просто на всей плоскости С с исключенной точкой 
. Мы можем поэтому утверждать, что она должна разлагаться на этой плоскости в ряд Лорана
Приходим, таким образом, к следующей теореме:
Теорема. Всякая целая функция 
с периодом (о может быть представлена на всей плоскости переменной и рядом вида
Написанный ряд сходится, очевидно, равномерно во всякой ограниченной части плоскости. Если мы воспользуемся формулами Эйлера и сгруппируем члены, соответствующие значениям 
, одинаковым по величине и противоположным по знаку, то получим представление функции 
в виде тригонометрического ряда
где
