188. Простой маятник.
В качестве наиболее простого примера применения функций Якоби рассмотрим простой маятник. Положим, что тяжелая материальная точка массы единица движется по гладкой окружности. Возьмем координатные оси X и Z в плоскости этой окружности, причем ось Z направим вертикально вверх; и пусть l — радиус окружности. Положим, что наша точка при 
пущена из самой нижней точки 
с некоторой начальной скоростью 
Приращение кинетической энергии будет равно работе силы тяжести, и мы получим, таким образом, формулу
или
Предположим, что прямая 
пересекает нашу окружность в некоторых точках А и 
т. е. что 
пли 
Из формулы (173) вытекает, что 
и, следовательно, движение будет совершаться на дуге 
(рис. 84) нашей окружности. Мы имеем 
и введем угол 
такой, чтобы 
Величина скорости будет выражаться формулой
и, следовательно, уравнение (173) может быть переписано в виде
или, вводя половинные углы,
откуда
Мы считаем при этом, что 0 возрастает при возрастании t. Введем вместо 0 новую переменную 
по формуле
Дифференцируя это соотношение, получим без труда
и, следовательно, подставляя в (174) и принимая во внимание, 
при 
мы имеем 
откуда
и, пользуясь известными свойствами функций Якоби, получим
причем, извлекая корень, мы принимаем во внимание, что при 
мы имеем 
. Последние формулы дают возможность выразить координаты х и z в виде однозначных функций 
Рассмотрим теперь тот случай, когда постоянная а, входящая в формулу (173), больше 
Мы можем переписать эту формулу следующим образом:
или
где
причем, очевидно, 
. Интегрируя соотношение (177), получим
Вводя вместо 0 новую переменную 
будем иметь
и точно так же
Эти формулы дают возможность и в этом случае выразить координаты в виде однозначных функций времени.
