77. Числа Бернулли.

Мы определили числа Бернулли при помощи равенств

Сейчас покажем, что эти числа могут быть постепенно определены совершенно элементарно и что все они суть рациональные числа.

Напишем разложение на простейшие дроби [65]:

или

или, переходя к показательным функциям согласно формулам Эйлера,

Положим

т. е.

или

Последнюю формулу можно переписать в виде

Мы можем написать

Подставляя это в формулу (178), получим

Применяя следствие из теоремы Вейерштрасса о сложении степенных рядов [14], можем правую часть представить в виде ряда по целым положительным степеням и при

где мы положили для краткости

Вспоминая формулу (177), можем написать

Функция, стоящая слева, имеет особые точки, ближайшие к началу: так что написанный степенной ряд имеет круг сходимости Производя деление и на ряд

сможем получать последовательно числа Бернулли Приведем значения первых из этих чисел: