146. Ортогональность функций Бесселя и их корни.

Как мы уже говорили, функции Бесселя применялись нами раньше при рассмотрении колебаний круглой мембраны. При этом мы использовали обычный метод Фурье и, для того чтобы удовлетворить начальным условиям задачи, нам пришлось разлагать заданную функцию в ряд по бесселевым функциям. Мы получили таким образом ряды, аналогичные рядам Фурье, причем оказалось, что функции Бесселя, в известном смысле, обладают свойством ортогональности [II, 178]. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения и выясним некоторые дополнительные обстоятельства.

Как известно, функция удовлетворяет уравнению [II, 48]

или, умножая на z, можем написать уравнение в виде

Мы будем в дальнейшем считать, что значок — вещественный и, кроме того, .

Возьмем два различных значения числа k и напишем соответствующие дифференциальные уравнения:

Умножим первое уравнение на второе — на вычтем и проинтегрируем по некоторому конечному промежутку (0, l):

Выражение, стоящее под знаком первого интеграла, представляет собою полную производную по z от разности

можно, таким образом, написать

Но мы имеем, очевидно,

где обозначаем вообще

и, следовательно, предыдущая формула может быть записана в виде

Напомним разложение бесселевой функции

Отсюда в силу непосредственно вытекает, что внеинтетральный член обращается в нуль при и мы приходим окончательно к следующей основной для дальнейшего формуле:

При эта формула принимает вид

Мы предполагали при предыдущих вычислениях, что . Нетрудно непосредственно проверить, что интегралы имеют смысл, и внеинтегральный член в формуле (22) обращается в нуль для и при более общем предположении

Покажем прежде всего, что функция Бесселя не может иметь комплексных корней. Положим сначала, что она имеет такой корень причем . Разложение (7) имеет все коэффициенты вещественными, и, следовательно, функция кроме корня должна иметь и сопряженный корень . Обратимся к формуле (25) и положим При этом и эта формула даст нам

Величины будут мнимыми сопряженными, следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит положительная величина, и эта формула не может иметь места. Остается теперь рассмотреть случай т. е. показать, что функция не может иметь и чисто мнимых корней . Действительно, подставляя в формулу (23), мы получим разложение, содержащее положительные члены:

Это обстоятельство непосредственно вытекает из того, что, согласно формуле (111) из [71], функция положительна при . Мы приходим, таким образом, к следующему результату: если вещественно и то функция имеет все корни вещественные. Заметим, кроме того, что из разложения (23), содержащего только четные степени, непосредственно вытекает, что корни будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни. В дальнейшем мы и будем подразумевать только такие корни. Напишем асимптотическое представление функций Бесселя [112]:

или

При беспредельном удалении вдоль положительной части вещественной оси второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое бесчисленное множество раз переходит от —1 к +1. Отсюда непосредственно вытекает, что функция имеет бесчисленное множество вещественных корней.

Если два различных положительных корня уравнения

то формула (24) дает нам непосредственно следующее свойство ортогональности функции Бесселя:

Согласно теореме Ролля функция также должна иметь бесчисленное множество вещественных положительных корней, и если мы обозначим теперь через и два различных положительных корня уравнения

то в силу (24) будем иметь точно такие же условия ортогональности (27).

Рассмотрим теперь уравнение более общее, чем написанное выше, а именно уравнение вида

где а и (3 — заданные вещественные числа. Пусть два различных корня уравнения (29), т. е.

Отсюда непосредственно следует

а следовательно, и в этом случае внеинтегральный член в формуле (24) обращается в нуль, и мы имеем по-прежнему условия ортогональности (27). Частным случаем уравнения (29) являются, очевидно, уравнения (26) и (28). Из условия ортогональности, как и выше, непосредственно вытекает, что уравнение (29) не может иметь комплексных корней , где

Кроме того, так же как и выше, можно показать, что уравнение (29) не имеет и чисто мнимых корней, если только

Напомним два известных нам соотношения:

Первое из них, в силу теоремы Ролля, показывает, что между двумя последовательными корнями лежит по крайней мере

один корень . Второе соотношение показывает, что между двумя последовательными корнями лежит по крайней мере один корень Сопоставляя это, непосредственно убеждаемся в том, что положительные корни разделяют друг друга, т. е. что между двумя последовательными положительными корнями находится один и только один корень и наоборот.

Пусть а и b — наименьшие положительные корни Принимая во внимание, что имеёт корень и применяя ко второй из формул (30) теорему Ролля, мы видим, что должна иметь корень внутри промежутка .

Таким образом, мы видим, что наименьший положительный корень функции будет ближе к началу, чему Заметим, кроме того, что функция есть решение уравнения [110]

и, следовательно, функции не могут иметь общих положительных корней [107]. Следовательно, то же самое можно сказать, в силу (30), и относительно функций

Свойство ортогональности функций Бесселя играет важную роль при разложении заданной функции по функциям Бесселя, как это имело, например, место в задаче колебания круглой мембраны.

При этом представляется существенным уметь также вычислять интегралы вида

где есть корень уравнения вида (29). Рассмотрим тот случай, когда k есть просто корень уравнения (26). Возьмем формулу (24), в которой мы положим будем считать переменным и стремящимся к k. Формула даст нам

При не только знаменатель дроби, но и числитель обратятся в нуль, так как будет стремиться к Раскрывая неопределенность по обычному правилу, получим в пределе

или

Возьмем известное нам соотношение

и положим здесь При этом получится

так что предыдущую формулу можно записать еще следующим образом:

Совершенно аналогично мы получаем для того случая, когда есть корень уравнения

Но мы имеем

и, пользуясь равенством можем переписать формулу (33) в виде