43. Плоское установившееся течение жидкости.

Выяснив основы теории конформного преобразования, мы переходим теперь к приложению теории функций комплексного переменного в гидродинамике. Пусть имеется плоское установившееся движение жидкости, обладающее потенциалом скорости и функцией тока Напомним, что при этом составляющие скорости в каждой точке выражаются по формулам

и разность

дает количество жидкости, протекающей за единицу времени через произвольный контур, соединяющий точки Течение считается не зависящим от времени и одинаковым во всех плоскостях, параллельных плоскости , причем плотность жидкости мы приняли за единицу. Точнее говоря, выражение (93) дает количество жидкости, протекающей в единицу времени через цилиндрическую поверхность, параллельную оси Z, высотой единица, имеющую направляющей некоторый контур l плоскости Y, соединяющий . Как мы видели, функции связаны между собой соотношениями

которые в точности совпадают с уравнениями Коши — Римана. Мы можем поэтому утверждать, что функция комплексного переменного

будет иметь производную в области, занятой текущей жидкостью.

Эта функция называется обычно комплексным потенциалом течения.

Как упоминалось уже раньше, функции могут быть многозначными, а именно могут приобретать постоянные слагаемые при обходе некоторой точки или, более общо, некоторой дыры, которая находится внутри рассматриваемой области. Для функции , эта многозначность указывает на наличие источника в соответствующей точке, а для функции на наличие элементарного вихря в этой точке. В таких случаях функция будет также многозначной функцией, т. е. она будет получать постоянные слагаемые при обходе некоторых точек (или дыр).

В силу (92) вектору скорости соответствует комплексное число

Последнее выражение совпадает, очевидно, с величиной, сопряженной с производной Итак, величина, сопряженная с производной, дает вектор скорости течения.

Рассмотрим изотермическую сетку, соответствующую функциям (94):

Первое семейство линий представляет собою семейство линий равного потенциала скорости или, как говорят, семейство эквипотенциальных линий. Второе семейство (линии тока), как нетрудно видеть, представляет собою семейство траекторий жидких частиц. Действительно, как мы знаем, второе семейство будет ортогонально первому, но вектор скорости, равный направлен как раз по нормали соответствующей линии первого из семейств (95). Таким образом, в данном установившемся движении в каждой точке вектор скорости направлен по касательной к линии второго из семейств (95), проходящей через эту точку, т. е. действительно это семейство есть семейство линий тока, и эти линии тока в установившемся движении дают траектории жидких частиц.

До сих пор мы ограничивались лишь кинематическими соображениями и убедились, что всякая кинематическая возможная картина движения задается комплексным потенциалом, представляющим собою регулярную функцию, и, наоборот, всякий такой комплексный потенциал дает кинематически возможную картину движения. Покажем теперь, что мы сможем таким образом удовлетворить и уравнениям гидродинамики, причем из этих уравнений получим величину давления. Напишем уравнения гидродинамики для нашего случая плоского установившегося течения, считая, что внешние объемные силы имеют потенциал

Приняв во внимание (92), получим два уравнения гидродинамики и уравнение непрерывности

где — плотность жидкости и давление. Уравнение непрерывности, очевидно, удовлетворено, так как вещественная часть регулярной функции есть функция гармоническая. Первые два уравнения могут быть переписаны в виде

Отсюда следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках» должно быть постоянной величиной, и мы получаем таким образом следующий интеграл:

откуда и определяется величина давления . В случае отсутствия объемных сил и полагая получаем формулу

где через мы обозначили величину скорости.

Заметим, что если вместо возьмем комплексный потенциал то эквипотенциальные линии перейдут в линии тока, и наоборот. Таким образом, всякая изотермическая сетка регулярной функции дает по существу две различные картины течения жидкости.