29. Интегралы типа Коши.

Рассмотрим интеграл типа Коши [8]

при прежних предположениях относительно и L. Положим, что находится не на L. Если L — замкнутый контур, то этот интеграл определяет две различные регулярные функции - внутри и вне b Если контур незамкнутый, то регулярна вне L. В обоих случаях Если лежит на контуре, то мы имеем интеграл в смысле главного значения и можем переписать его в виде

т. е., в силу (161),

Считая сначала, что контур замкнутый, докажем теорему: если стремится к некоторой точке 6, лежащей на L, то интеграл (166) имеет предел

причем знак «+» берется, если изнутри L, и знак «-», если извне. Разберем стремление изнутри. Интеграл (166) мы можем переписать в виде

или

Исследуем разность

По обе стороны от точки отложим дуги малой длины Образуемую этими дугами часть контура обозначим через а остальную часть — через 12. Обозначая разность (170) одной буквой , можем написать

Положим, что z стремится к по нормали к контуру L. При этом расстояние от z до будет меньше, чем расстояние от до других точек контура, т. е.

Кроме того, причем Оценивая обычным образом первый из интегралов формулы (171), получим

где соответствует точке Принимая во внимание, что отношение длины хорды к длине дуги стремится к единице, можем утверждать, что последний интеграл будет сходящимся, и, следовательно, при любом заданном положительном мы можем выбрать настрлько малым, чтобы модуль интеграла по был меньше Закрепив таким образом мы будем иметь уже обычный интеграл по в котором остаются ббльшими некоторого положительного числа, а потому интеграл по будет по модулю меньше при всех z, достаточно близких к Ввиду произвольности мы можем утверждать, что разность (171) стремится к нулю при по нормали, т. е.

или, в силу (161),

и формула (169) дает требуемый результат:

В случае стремления извне доказательство проводится буквально так же, только надо иметь в виду, что если внутри l,

До сих пор мы предполагали, что по нормали. Можно показать, что формула (172) сохранит свою силу и при любом стремлении z к . Для этого достаточно показать, что при предельном переходе на контур по нормали стремление интеграла (166) к пределу (168) имеет место равномерно при всех значениях на контуре L Ограничимся рассмотрением окружности Пока считаем, что по нормали. В данном случае Нетрудно показать, что если то Пользуясь этим, можно написать

и модуль интеграла по L будет меньше

На контуре если z достаточно близка к ,

где M — наибольшее значение на L. Полагая получим

и окончательно

Сначала выбирается так, чтобы первое слагаемое было меньше и затем при таком фиксированном второе слагаемое будет меньше если . В эти оценки не входит , и, следовательно, разность (171) стремится к нулю равномерно относительно , когда по радиусу стремится к окружности. Следовательно, в формуле (172) предельный переход «также имеет место равномерно относительно . Отсюда следует, между прочим, что и правая часть формулы (172) и интеграл (166) представляют собой непрерывную функцию от мы упоминали о том, что эта функция удовлетворяет условию Липшица.

Обозначим правую часть формулы (172) через и положим, что любым образом. Пусть — переменная точка окружности, лежащая на одном радиусе с z. Очевидно, что Пользуясь доказанным выше утверждением о равномерности предельного перехода в (172) при стремлении по радиусу к , можем утверждать, что при любом заданном положительном для всех z, достаточно близких к , будем иметь

С другой стороны, в силу непрерывности для всех z, достаточно близких к , мы имеем а потому

для всех z, достаточно близких к . Ввиду произвольности это и показывает, что в формуле (172) предельный переход имеет место при любом законе стремления z к изнутри, и притом равномерно относительно . Иначе говоря, мы можем утверждать, что функция F(z), определяемая интегралом (166) внутри окружности, будет непрерывной вплоть до окружности, причем ее предельные значения на окружности определяются формулой (172). То же самое справедливо при стремлении извне.

Это же свойство интеграла типа Коши может быть доказано и для любого замкнутого контура L при указанных в [28] предположениях относительно . Можно даже допустить, что L имеет конечное число угловых точек. Пусть М — угловая точка L, и положим, что при обходе по L против часовой стрелки направление касательной поворачивается в точке М на угол где

При этом, как нетрудно видеть, в правой части формулы (161) вместо мы будем иметь и выражение (168) мы должны заменить в точке М выражением

причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки.

Если мы обозначим через предельные значения на контуре L функций (166), определенных внутри и вне Z, то доказанную выше теорему можно записать в виде

Совершенно аналогичную теорему можно доказать и для случая незамкнутого контура. Ограничимся рассмотрением конечного отрезка вещественной оси:

Если тождественно равна единице, то вместо формулы (168) будем иметь

где мы должны брать то значение логарифма, которое обращается в нуль при . Если лежит внутри отрезка то вместо формулы (161) будем иметь

где значение логарифма берется вещественным. Повторяя буквально прежнее рассуждение, получим

Функция (176) имеет разные пределы при стремлении z к сверху или снизу отрезка а именно:

где верхний знак относится к случаю стремления сверху, т. е. от значений с положительной мнимой частью, а нижний знак — к случаю стремления снизу.

При интегрировании от а до b верхняя полуплоскость находится с левой стороны и стремление к сверху аналогично стремлению изнутри в случае замкнутой кривой. Точно так же стремление к снизу аналогично стремлению извне в случае замкнутой кривой. Обозначая через предельные значения функции (175) при стремлении к сверху и снизу, будем иметь формулы, аналогичные формулам (174):

Если удовлетворяет на отрезке условиям, указанным в конце а вблизи концов имеет вид (160), то для точек z, близких к концам отрезка, имеют место следующие предложения (см. Н. И. Мусхелишвили):

1. Если то

где знак относится к случаю и знак к случаю есть ограниченная функция, имеющая определенный предел при Под подразумевается любая ветвь, однозначная вблизи на плоскости с разрезом

где знаки выбираются, как и выше, обозначает ту однозначную вблизи на плоскости с разрезом ветвь, у которой на верхнем (левом) берегу разреза равно тому значению которое входит в формулу (165). Далее, обладает следующими свойствами: если то ограничена и имеет определенный предел при ; если же то

где — постоянные, причем Используя понятие интеграла Лебега, можно исследовать значения интеграла типа Коши для любой суммируемой функции ) и для широкого класса контуров (см. И. И. Привалов, Интеграл Коши, 1918).

Отметим один частный случай. Если суть предельные значения на L функции, регулярной внутри замкнутого контура L и непрерывной вплоть до I, причем со удовлетворяет условию Липшица, то и первая из формул (169) показывает, что о должна быть решением однородного интегрального уравнения второго рода

Пусть L, как и выше, — простой замкнутый контур. Главное значение интеграла

переводит любую функцию заданную на L и удовлетворяющую условию Липшица, в некоторую другую функцию определенную на L и также удовлетворяющую условию Липшица.

Иначе говорят, что интеграл (179) является преобразованием или оператором над функцией . К полученной функции мы можем опять применить оператор с ядром Коши. При этом имеет место формула

Иначе говоря, в результате двукратного применения преобразования с ядром Коши мы получаем исходную функцию с коэффициентом Для доказательства (180) перепишем первую из формул (174) в виде

Правая часть дает результат применения к функции линейного преобразования с ядром Коши. К этой правой части опять применимо линейное преобразование с ядром Коши

где лежит на L и интеграл, как и выше, надо понимать в смысле главного значения. Поскольку дает предельные значения на L функции, регулярной внутри мы должны иметь в силу (178)

С другой стороны, в силу (181)

и окончательно интеграл (182) оказывается равным т. е. мы имеем формулу (180).