124. Регулярные системы.

Рассмотрим систему уравнений простейшего вида, коэффициенты которых суть рациональные функции, имеющие полюсы первого порядка на конечном расстоянии и равные нулю на бесконечности. Пусть есть полюс первого порядка некоторых коэффициентов. Каждый из коэффициентов имеет в этом полюсе некоторый вычет и эти вычеты образуют некоторую квадратную таблицу Мы можем, таким образом, записать нашу систему в следующем виде:

где - матрицы, состоящие из постоянных элементов. Будем искать такое решение системы (318), которое в некоторой точке отличной от точек обращается в единичную матрицу, и обозначим такое решение символом

Принимая во внимание это начальное условие, можно переписать систему в следующей интегральной форме:

где интегрирование матрицы равносильно интегрированию каждого ее элемента.

Применим теперь, как всегда, метод последовательных приближений, а именно положим а следующее приближение определим обычной формулой

Мы будем иметь, согласно методу последовательных приближений,

или, полагая для краткости

причем в силу (320) мы имеем

можно написать

Определим первые члены этого разложения, пользуясь общей формулой (321). Вводя обозначение

имеем

Точно так же, вводя обозначение

получим

или

где суммирование распространяется на значки и независимо от до . Продолжая так же и дальше и вводя формулы

определяющие последовательно коэффициенты получим

где суммирование распространяется на все значки, указанные под знаком суммы, причем каждый значок, независимо от других, пробегает целые значения от 1 до . Окончательно в силу (322) будем иметь следующее представление для нашего решения в виде степенного ряда от матриц

причем коэффициенты этого ряда определяются рекуррентными соотношениями (323).

Решение может быть аналитически продолжено по любому пути, не проходящему через особые точки и ряд (324) дает это решение во всей области его существования, т. е. при любом аналитическом продолжении. Действительно, покажем сначала, что ряд (324) сходится при любом аналитическом продолжении коэффициентов Пусть некоторая кривая, выходящая из точки и отстоящая на конечном расстоянии от точек Пусть b — кратчайшее расстояние от точек а до кривой и s — длина дуги на этой кривой, отсчитываемая от точки b. Применяя обычную оценку интеграла по контуру мы получаем следующую оценку для коэффициентов ряда (324) на l [4]:

откуда

и вообще на l

Но степенной ряд

сходится при всяком и, следовательно, мы можем утверждать, что ряд (324) сходится абсолютно для любых матриц и при любом аналитическом продолжении его коэффициентов [99]. Из предыдущих оценок вытекает также, что сходимость будет и равномерной во всякой конечной области (вообще говоря, многолистной), отстоящей от точек на расстоянии большем нуля. Наконец, дифференцируя ряд (324) почленно по нетрудно убедиться, что он удовлетворяет и системе. Действительно, мы можем переписать его следующим образом, выделяя одно из суммирований:

Дифференцируя по и принимая во внимание, что в силу определения

и

получим в результате дифференцирования

или

т. е.

Наконец, непосредственно ясно, что построенное решение обращается в единичную матрицу при так как в силу определения коэффициенты ряда обращаются в нуль при . Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме:

Теорема. Решение системы (318), которое обращается в единичную матрицу при определяется рядом (324) во всей области его существования по отношению к и при любом выборе матриц

Если на плоскости проведем из точек на бесконечность разрезы так, чтобы они не пересекали друг друга, то на разрезанной таким образом плоскости, которая будет односвязной областью, решение (324) будет одно значной функцией но на противоположных берегах разреза оно будет иметь различные значения, а именно: в результате обхода вокруг каждой точки в положительном направлении наше решение будет умножаться слева на некоторую постоянную матрицу которую мы назвали выше интегральной

матрицей, соответствующей особой точке а. Выведем теперь выражения для интегральных матриц через матрицы входящие в коэффициенты заданной системы. В исходной точке наше решение имеет значение т. е. обращается в единичную матрицу, и, следовательно, чтобы получить интегральную матрицу нам надо определить значение нашего решения, которое получится при аналитическом продолжении вдоль замкнутого контура обходящего вокруг точки и возвращающегося в точку b.

Это значение может быть получено непосредственно по формуле (324), причем надо только в формулах (323) производить интегрирование по вышеуказанному замкнутому контуру и при этом, конечно, полученные коэффициенты не будут уже зависеть от

Введем для них следующие обозначения:

и

При этом мы будем иметь представление в виде степенного ряда от матриц абсолютно сходящегося при любом выборе этих матриц:

Теорема. Интегральные матрацы суть целые функции матриц определяемые рядом (327), коэффициенты которого определяются формулами (325) и (326).

Вместо формул (326) можно доказать следующие формулы, связывающие величины для соседних значений т.

Доказательство этих формул мы приводить не будем.

Если совершим аналитическое продолжение построенного решения по какому-либо контуру, выходящему из некоторой точки и возвращающемуся в эту же точку, то такой замкнутый контур в смысле аналитического продолжения равносилен нескольким обходам вокруг точек в положительном или отрицательном направлении. Следовательно, при возвращении в точку наше решение умножится слева на постоянную матрицу, которая представляется в виде произведения множителей или . В этом смысле говорят, что интегральные матрицы образуют группу уравнения (318).

Разъясним сказанное на простом примере. На рис. 72 отмечены особые точки и сплошной линией указан контур аналитического продолжения. Пунктирные линии сводят этот контур к равносильному в отношении аналитического продолжения контуру, состоящему из ряда обходов вокруг точек причем взято

Первый обход относится к точке и в результате этого обхода мы придем в точку b с решением Последующий обход относится к точке и в результате этого обхода постоянная матрица останется без изменения, а матрица умножится слева на 1/8, т. е. после второго обхода мы придем в точку b со следующим решением и, наконец, в результате третьего обхода мы вернемся окончательно в точку b с решением

Рис. 72.

Любое решение системы (318) отличается от решения на постоянную матрицу

и его интегральные матрицы будут, как известно [122],

Рассмотрим теперь матрицу которая является обратной матрицей для Эта матрица, как мы видели раньше, удовлетворяет системе линейных уравнений

Применяя к этой системе уравнений метод последовательных приближений, мы получим следующее представление этой матрицы в виде степенного ряда от матриц

где коэффициенты определяются формулам

и

Разложение (329) сходится абсолютно для любых матриц и при любом аналитическом продолжении относительно переменной . Эти результаты получаются совершенно так же, как и выше. Принимая во внимание, что

мы видим, что матрица при обходе вокруг особой точки помножается справа на матрицу и таким образом можно получить представление в виде степенного ряда от матриц пользуясь рядом (329) и

совершая аналитическое продолжение его коэффициентов по замкнутому контуру обходящему вокруг особой точки . Это даст нам ряд вида

где коэффициенты определяются последовательно по формулам

Отмстим особо один частный случай, когда систему (318) можно проинтегрировать в конечном виде, а именно предположим, что матрицы попарно коммутируют, т. е. для любых значков имеем

Покажем, что в этом случае решение системы может быть записано в конечном виде следующим образом:

Нетрудно видеть, что написанная функция обращается в единичную матрицу при . Проверим, что она удовлетворяет и системе уравнений. Дифференцируя по обычному правилу дифференцирования произведения и принимая во внимание, что

получим

Раз матрица коммутирует с , то она коммутирует и с любой функцией представляемой степенным рядом от . Мы можем поэтому написать предыдущую формулу следующим образом:

т. e. матрица (334) действительно удовлетворяет системе. Формула (334) может быть получена из системы, если мы в этой системе совершим чисто формально разделение переменных, не обращая внимания на то, что мы имеем дело с матрицами, а не с численными переменными. В данном случае

это оказывается возможным вследствие того, что матрицы попарно коммутируют. Правая часть формулы (334) представляет собой просуммированный ряд (324) в предположении, что матрицы попарно коммутируют. Из формулы (334) вытекает, между прочим, что в рассматриваемом случае при обходе точки матрица получает слева постоянный множитель

Это становится ясно, если написать формулу

и воспользоваться известной многозначностью логарифма.

Отметим еще, что в формуле (335) порядок множителей справа не играет роли, так как оба множителя содержат только одну матрицу , а потому коммутируют.