139. Потенциал сферического слоя.

Положим, что на поверхности сферы радиуса R распределена некоторая масса с поверхностной плотностью . Потенциал такого простого слоя будет выражаться интегралом по поверхности сферы

где d есть расстояние точки М до переменной точки М поверхности сферы. Выражение будет иметь разложения различного вида внутри сферы и вне сферы

Будем сначала считать при этом мы получим [133]

где есть угол, образованный радиусами-векторами из центра сферы. Плотность мы должны считать заданной функцией географических координат на сфере.

Подставляя разложение (94) в интеграл (93), будем иметь, вспоминая, что

Написанные интегралы непосредственно связаны с членами разложения функции по сферическим функциям, а именно, если

то, как известно,

и, следовательно, разложение (95) мы можем написать в следующем виде:

Совершенно так же, пользуясь разложением (36), получим

Пользуясь этими разложениями, отметим некоторые свойства потенциала простого слоя. Заметим прежде всего, что разложения (97) и (98) совпадают, если точка М попадает на поверхность сферы. В данном случае мы должны положить и получим следующий результат:

где географические координаты точки лежащей на поверхности сферы. Мы видим, таким образом, что потенциал простого слоя меняется непрерывно, когда точка М проходит через поверхность сферы. Это свойство потенциала простого слоя имеет место не только для сферы, но и для поверхностей общего вида.

Исследуем теперь поведение нормальной производной от потенциала (нормальная составляющая силы) при переходе точки М через поверхность сферы.

Обозначим через предел нормальной производной при стремлении точки М по радиусу к точке изнутри сферы, а через — такой же предел при стремлении точки М к той же точке поверхности извне сферы. Через v мы обозначаем направление внешней нормали к сфере в точке . В данном случае это направление совпадает с направлением радиуса . Дифференцируя формулы (97) и (98) по направлению v, т. е. по , и полагая затем мы получаем выражения для упомянутых выше пределов:

Отсюда видно, что нормальная производная потенциала простого слоя имеет, вообще говоря, разрыв при прохождении через поверхность.

Из формул (100) и (101) непосредственно вытекают следующие формулы:

откуда в силу (96) и (99) мы можем написать

Формула (102) показывает, между прочим, что величина скачка нормальной производной равна произведению на значение плотности в рассматриваемой точке поверхности.

Выясним теперь значение правой части формулы (103). Обозначая, как и выше, через v определенное направление, а именно направление радиуса , и принимая во внимание, что в интеграле (93) только множитель зависит от координат точки получим

Но мы имеем

где есть угол между радиусом-вектором ММ и направлением v. Определим значение интеграла (104), предполагая, что точка М находится на самой сфере и именно в точке При этом мы будем иметь и, следовательно,

Для интеграла (104) получим следующее значение:

Обозначим эту величину через При этом формулу (103) можно переписать в следующем виде:

Отсюда вытекают, между прочим, следующие выражения для пределов нормальной производной потенциала простого слоя:

Эти формулы оказываются также справедливыми не только для сферы.