118. Функции Эйри.

Преобразование Лапласа имеет применения и к уравнениям, отличным от уравнений вида (112). Рассмотрим уравнение

Всякое его решение есть целая функция от z [98]. Интегрируя с помощью степенного ряда, получаем все его решения в виде

Применим к уравнению (228) преобразование Лапласа. Проделывая все указанные в [108] вычисления, придем к формуле

при условии

На плоскости z функция быстро стремится к нулю в секторах

где любое малое число. В соответствии с этим решения уравнения (228) при любом комплексном z определяются обычно следующим образом:

Контур идет по лучу из бесконечности в точку а затем по лучу на из бесконечности по лучу в точку , а затем из начала по лучу на из бесконечности по лучу а затем по лучу на бесконечность.

Как легко видеть,

Из определения следует, что и, в частности, при вещественном откуда следует, что функция вещественна при вещественном z. Второе вещественное решение при вещественном z определим формулой

и отсюда следует при любом

Функции и обычно называются функциями Эйри. Иногда они обозначаются следующим образом:

Пользуясь определениями (z), нетрудно получить значения функций и их производных при

Уравнение (228) можно преобразовать в уравнение Бесселя (131) при . Принимая во внимание вид разложения (229) и формулы (141) и (235), получим

и

где

Из асимптотики функций Бесселя можно получить асимптотику функций Эйри. Выпишем соответствующие результаты, считая и большим:

Отметим, что из вида уравнения (228) непосредственно следует, что все его вещественные решения — колеблющиеся при и неколеблющиеся при Из написанных выше формул следует, что при При функции и положительны.

Отметим возможность видоизменения контуров интегрирования при определении функций при вещественном . Лучи участвующие в контуре интегрирование по которому определяет можно сместить на мнимую ось. Доказательство этого аналогично доказательству леммы Жордана [60]. Кратко наметим его. Надо доказать, что интегралы

по дугам окружностей , где

стремятся к нулю при и При помощи элементарных преобразований это сводится к тому, что выражение

стремится к нулю при Используя неравенства

непосредственно получаем то, что надо было доказать. Таким образом, имеем при вещественном z

Совершенно аналогично для и при вещественном z получим

Можно показать, что все корни находятся на луче . Отметим, что если есть какое-либо решение уравнения (228), то и есть также решение этого уравнения. В этом легко убедиться на основании формулы (229) или пользуясь заменой независимой переменной . Иногда вместо уравнения (228) пишут уравнение

Легко видеть, что если удовлетворяет уравнению (228), то удовлетворяет последнему уравнению. Подробное изложение результатов, касающихся функций Эйри, их приложений и таблиц, содержится в книге академика В. А. Фока (V. A. Fосk, Elektromagnetic Diffraction and Propagation Problems, London, Pergamon Press, 1965), которой мы пользовались при изложении настоящего материала. В упомянутой книге обозначается через w(z).