162. Связь полиномов Эрмита и Лагерра.

Полиномы Эрмита просто выражаются через полиномы Лагерра . Эти последние при как мы знаем, суть решения уравнения

Введем вместо новую переменную по формуле откуда

Подставляя в уравнение (58), придем к уравнению

которое совпадает с уравнением (9), если в этом последнем заменить на . Как мы уже упоминали, второе решение уравнения (9) не есть уже

полином, а потому можно утверждать, что с точностью до постоянного множителя совпадает с т. е.

Для определения постоянной сравним старшие коэффициенты в обеих частях написанного равенства. В левой части старший коэффициент, как мы видели [157], равен , а в правой части он равен так что и окончательно

Перейдем теперь к выводу аналогичной формулы для удовлетворяет уравнению

которое при помощи преобразования переходит к виду

Введем еще вместо новую функцию по формуле

Дифференцируя по и подставляя в уравнение, получим уравнение для

Это уравнение совпадает с (9), если в этом последнем заменить на Из предыдущих преобразований непосредственно получаем

Сравнение старших коэффициентов дает и окончательно