143. Функция Лежандра второго рода.

Мы построили одно из решений уравнения (118). Займемся теперь построением второго решения. Мы знаем, что если одно из решений уравнения

то второе решение может быть построено по формуле

где С — произвольная постоянная. Рассмотрим сначала случай целого положительного . В особой точке уравнения (118) определяющее уравнение имеет корни . Решение уравнения, соответствующее первому корню, обращается в нуль при Пользуясь формулой (124), мы можем представить это решение в виде

Функция имеет особые точки и регулярна на скости комплексного переменного с разрезом от до

Формула (125) дает на всей этой плоскости. Отметим, что корни лежат внутри промежутка (-1, 1).

Выразим через полиномы Лежандра и логарифмы. Для этого в уравнение (118) введем вместо новую функцию по формуле

Для получаем уравнение

В силу (42) можем переписать это уравнение в виде

где при четном и при нечетном. Принимая во внимание, что удовлетворяет уравнению

убедимся в том, что уравнение

имеет частное решение

Отсюда, в силу (126) и (127), получаем следующее решение уравнения Лежандра (118):

Оно должно выражаться через

Из (128) и очевидного разложения

следует, что при величина остается ограниченной.

С другой стороны, в правой части есть полином степени Ну стремится к нулю при как Сопоставляя это, можем утверждать, что т. е.

где полином степени Отсюда следует

где полином от . С другой стороны, в силу (125)

Сравнивая это равенство с предыдущим, получим

откуда

и, полагая получаем т. е. на основании (128) и (129) окончательно имеем

Функция называется обычно функцией Лежандра второго рода.

Наличие логарифмических членов связано с характером особых точек уравнения (118). Легко представить в виде определенного интеграла. Отметим, что при целом положительном выражение (120) обращается в нуль при . В соответствии с этим, при составлении решения уравнения (118) в виде (119) мы можем за контур С взять просто отрезок и получим

где С — любая постоянная. Этот интеграл при стремится к нулю, как и потому написанное решение лишь постоянным множителем отличается Определим постоянную С так, чтобы решение (132) совпало с . Из формулы (11) следует, что коэффициент при равен

Обращаясь к формуле (125), мы видим, что разложение подинтегральной функции по целым положительным степеням начинается с члена разложение начинается с члена сравнивая с формулой (132), получаем следующее уравнение для С:

или

откуда [I, 100]

и, принимая во внимание (133), получаем . Подставляя в (132), получаем выражение в виде интеграла

Это выражение годится на всей плоскости комплексного переменного кроме отрезка Дадим теперь представление через гипергеометрический ряд. Предварительно запишем формулу (133) при помощи функции причем используем соотношения (143) из [73] при и формулу :

Отметим далее, что преобразование переводит уравнение Лежандра (118) в уравнение

а это последнее уравнение есть уравнение Гаусса с параметрами . Пользуясь первой из формул при и заменяя t на мы получим решение уравнения (118)

которое в бесконечно далекой точке ведет себя так же, как и а потому отличается от лишь постоянным множителем. Остается выбрать С так, чтобы решение (136) совпало с разложение которого по степеням - начинается с члена Это дает и мы получаем

До сих пор речь шла о функции при целом положительном . Можно определить как второе решение уравнения (118) и для любых значений , как это мы делали для Обратимся к интегралу (134). Он имеет смысл, если вещественная часть положительна, и может служить определением при указанном условии. В общем случае можно определить контурным интегралом (119) при подходящем выборе контура. Выражение (137) годится для , отличных от целых отрицательных значений. Надо при этом иметь в виду, что если — не целое положительное число, то функция имеет точку точкой разветвления. Она определена в плоскости с разрезом от до . Если — целое отрицательное число, то, полагая где целое положительное число или нуль, мы видим, что уравнение (118) переходит в уравнение

и в качестве решений уравнения (118) можно взять Для функций легко проверяются формулы (37), (39) и (40) из [133].