136. Связь сферических функций с предельными задачами.

Сейчас мы укажем на связь теории сферических функций с некоторыми предельными задачами для дифференциальных уравнений. Напишем уравнение Лапласа в сферических координатах [II, 119]:

Будем искать его решение, имеющее вид произведения функции только от на функцию только от в и

Подставим в уравнение (68)

это можно переписать, разделяя переменные, в виде

Левая часть содержит только , а правая только и и обе части должны равняться одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через , будем иметь два уравнения:

и

где мы для сокращения обозначили

Множитель мы уже знаем, а именно, в силу (5), он должен равняться и, таким образом, наше внимание должно сосредоточиться на уравнении (70). Функция как мы видели, есть тригонометрический полином, и, следовательно, во всяком случае она должна быть конечной и непрерывной на всей единичной сфере, т. е. при любом выборе углов и, в частности, при когда обращается в нуль. Приходим таким образом к следующей предельной задаче: найти такие значения параметра X, при которых уравнение имеет решения, непрерывные на всей единичной сфере, и построить эти решения. Первая часть задачи не представляет никакого труда, ибо мы знаем, что должно равняться и, подставляя это в уравнение (69), получим бесчисленное множество значений параметра , а именно:

При этом уравнение

будет иметь одно решение и второе решение Подставляя в уравнение (70), получим уравнение для сферических функций

В данном случае собственному значению соответствует собственных функций. Это будут сферические функции

порядка . Поскольку сферические функции образуют замкнутую систему на единичной сфере, ими исчерпываются все собственные функции уравнения (70). Подставляя выражения (16) в уравнение (74) и полагая получаем для следующее уравнение второго порядка:

При получается уравнение для полиномов Лежандра Собственные значения и соответствующие собственные функции решают следующую предельную задачу: найти такие значения при которых уравнение (75) имеет решение, которое остается конечным во всем промежутке включая и его концы. Отметим, что уравнение (75) имеет в особых точках определяющее уравнение с корнями

Решение, соответствующее корню обращается в бесконечность в соответствующей особой точке.

Указанная задача сводится к нахождению таких значений при которых решение, принадлежащее корню в точке принадлежало бы тому же корню и в точке

Решением этой задачи и являются значения а соответствующие собственные функции определяются формулой (12).

Свойство ортогональности сферических функций непосредственно связано с тем, что они решают указанную выше предельную задачу для уравнения (70). Совершенно так же функции обладают свойством ортогональности на отрезке

Это доказывается на основании уравнения (75) совершенно так же, как это было сделано в [102] для полиномов Лежандра. Отметим еще один факт, связанный с теорией сферических функций. Если мы используем решение уравнения (73), то получим решение уравнения Лапласа. Это будет гармонический полином степени п. Если мы используем второе решение уравнения (73), то приходим к следующему заключению: функция

где сферическая функция порядка , является решением уравнения Лапласа. Это решение обращается в бесконечность при и не является, конечно, полиномом от х, у, z.