24. Принцип симметрии.

В [18] было определено аналитическое продолжение из области в новую область для того случая, когда эта новая область налегала на первоначальную, причем в общем случае не было дано никакого практического способа, как действительно осуществлять это аналитическое продолжение.

Теперь укажем на одну из возможностей осуществить аналитическое продолжение в частном случае, причем в этом частном случае новая область будет не налегать на старую, но лишь соприкасаться со старой областью вдоль некоторого контура. Предварительно мы должны доказать одну вспомогательную теорему.

Теорема Римана. Если регулярна с одной стороны от дуги кривой L и на самой этой кривой, обладает тем же свойством по другую сторону от кривой, и значения этих функций на самой дуге L совпадают, то эти две функции совместно определяют единую регулярную функцию в области, содержащей упомянутую дугу внутри себя, или, иначе говоря, является аналитическим продолжением

Рис. 21.

Проведем контуры и с общими концами на l, из которых первый лежит в области регулярности функции а второй — в области регулярности функции так что в областях ограниченных замкнутыми контурами и l, наши функции регулярны (рис. 21). Возьмем некоторую точку z внутри Она будет лежать вне и мы, следовательно, можем написать [7]

Если мы сложим эти два равенства, то в правой части нам придется два раза интегрировать по дуге L в противоположных направлениях, причем подинтегральные функции при обоих интегрированиях будут одинаковыми, так как на указанной дуге значения по условию совпадают. Таким образом, эти два интеграла взаимна сократятся и останутся лишь интегралы по дугам и Для сокращения обозначим через функцию, равную на дуге и равную на дуге Складывая предыдущие равенства, будем, иметь

Совершенно так же, беря точку z в области мы получили бы

т. е. наши функции выражаются одним и тем же интегралом типа Коши по замкнутому контуру Следовательно, первая из этих функций из области аналитически продолжима в. область а вторая из и в результате этого аналитического продолжения они создают единую аналитическую функцию, что и доказывает теорему Римана.

Рис. 22.

Заметим, что в предыдущем доказательстве мы пользовались формулой Коши, которая справедлива и для того случая, когда функция не регулярна на контуре, но лишь непрерывна в замкнутой области и регулярна внутри. Таким образом, в условии теоремы Римана мы не обязаны считать данные функции регулярными на самой дуге. Достаточно лишь, чтобы была регулярна с одной стороны дуги L и непрерывна вплоть до самой дуги и то же для с другой стороны дуги, причем значения этих функций на самой дуге L должны совпадать. При этом теорема Римана доказывает возможность аналитического продолжения каждой из этих функций через дугу и тот факт, что одна из этих функций осуществляет это аналитическое продолжение для другой.

Переходим теперь к установлению принципа симметрии.

Принцип симметрии. Если регулярна с одной стороны от некоторого отрезка вещественной оси и непрерывна вплоть до этого отрезка, причем на самом отрезке ее значения вещественны, то эта функция аналитически продолжима через упомянутый отрезок, и в точках, симметричных относительно вещественной оси, эта функция будет иметь комплексные сопряженные значения.

Положим для определенности, что наша функция регулярна в некоторой области примыкающей к отрезку и лежащей над этим отрезком (рис. 22). Построим область симметричную с относительно вещественной оси, и определим в этой области функцию по следующему правилу: положим, что в каждой точке области функция имеет значение комплексное» сопряженное с тем значением, которое данная функция имеет в симметричной относительно вещественной оси точке

Эти симметричные точки имеют, очевидно, комплексные сопряженные координаты и, обозначая, как всегда, через а комплексное число, сопряженное с а, мы можем написать определение нашей функции в области в виде

Эта вновь построенная функция будет регулярной в области Действительно, для нее приращения независимого переменного и функции будут величинами комплексными, сопряженными с аналогичными величинами для функции в симметричной точке

Рис. 23.

То же можно сказать и про отношение этих приращений. Следовательно, это отношение для функции стремится к определенному пределу, равному величине комплексной сопряженной с аналогичным пределом для т. е. к пределу, равному и, следовательно, функция будет регулярной в области . На самом отрезке значения совпадают со значениями так как на этом отрезке значения вещественны. Таким образом, является, согласно теореме Римана, аналитическим продолжением через отрезок, что и доказывает принцип симметрии Мы можем формулировать принцип симметрии и геометрически» а именно: если регулярна с одной стороны отрезка вещественной оси и преобразует этот отрезок тоже в отрезок вещественной оси, то она аналитически продолжима через этот отрезок и точки, симметричные относительно вещественной оси, преобразует в точки, тоже симметричные относительно вещественной оси. Можно формулировать принцип симметрии более общим образом, вводя понятие о точках, симметричных относительно окружности, а именно назовем две точки симметричными относительно окружности, если эти две точки находятся на одном и том же радиусе окружности, (одна на самом радиусе, а другая на его продолжении), причем произведение расстояний этих точек до центра окружности равно квадрату радиуса этой окружности (рис. 23).

Пусть и — две точки, симметричные относительно окружности С. Проведем через эти две точки какую-нибудь окружность и пусть М — одна из точек пересечения С с окружностью С.

Принимая во внимание, что произведение секущей на ее внешнюю часть должно равняться квадрату касательной и, с другой стороны, по определению это произведение должно равняться квадрату радиуса ОМ, мы можем утверждать, что радиус ОМ является касательной к окружности С, т. е. окружность С ортогональна к окружности С. Отсюда нетрудно видеть, что и для двух точек и симметричных относительно окружности С, характерным является то обстоятельство, что всякая окружность, проходящая через них, будет ортогональна с С, или, иначе говоря, пучок окружностей, проходящих через точки, симметричные относительно окружности С, будет состоять из окружностей, ортогональных к С. Таким же характерным свойством обладают и две точки, симметричные относительно прямой, а именно: пучок окружностей, проходящих через эти две точки, будет состоять из окружностей, ортогональных к прямой (рис. 24).

Рис. 24.

Принцип симметрии в общем виде читается так: если регулярна с одной стороны некоторой дуги окружности непрерывна вплоть до этой дуги и преобразует эту дугу также в некоторую дугу другой окружности то аналитически продолжима за дугу и точки, симметричные относительно окружности Q, она преобразует в точки, симметричные относительно окружности С В этой формулировке принципа симметрии мы можем понимать под словом «окружность» как окружность в собственном смысле этого слова, так и прямую линию.

Доказательство этой общей формулировки принципа симметрии будет нами дано в начале следующей главы.