64. Разложение дробной функции на простейшие дроби.

Мы применим сейчас основную теорему о вычетах к задаче разложения функции в бесконечный ряд. Пусть функция, регулярная и однозначная на всей плоскости, кроме отдельных изолированных точек, которые являются ее полюсами. Такая функция называется обычно дробной, или мероморфной функцией. Примером дробной функции является рациональная дробь. В качестве второго примера приведем функцию которая имеет своими полюсами те точки, где обращается в нуль.

Последняя мероморфная функция имеет бесчисленное множество полюсов. Заметим, что если мероморфная функция имеет бесчисленное множество полюсов, то во всякой ограниченной части В плоскости их должно быть во всяком случае конечное число. Действительно, в противном случае мы имели бы в В хоть одну предельную точку этих полюсов, т. е. такую точку что в любом малом круге с центром находится бесчисленное множество полюсов функции Эта точка была бы особой точкой отличной от полюса, так как из определения [17] полюса вытекает, что он должен быть изолированной особой точкой. Но, по условию, не имеет других особых точек, кроме полюсов. Раз в любой ограниченной части плоскости полюсов конечное число, то мы можем их пронумеровать в порядке неубывающего модуля, так что, обозначая полюсы через будем иметь

причем при беспредельном возрастании . В каждом полюсе наша функция будет иметь определенную бесконечную часть, которая будет представлять собою полином относительно аргумента без свободного члена [17]. Обозначим этот полином через

Покажем теперь, что при некоторых дополнительных предположениях дробная функция представляется простым бесконечным рядом, члены которого выражаются через бесконечные части (66). Формулируем то условие, которое мы налагаем на функцию . Положим, что имеется последовательность замкнутых контуррв обходящих вокруг начала, и таких, что всякий контур находится внутри . Пусть длина контура его кратчайшее расстояние от начала. Мы будем считать, что , т. е. что контуры при увеличении беспредельно расширяются по всем направлениям. Кроме того, будем считать, что отношение остается ограниченным при беспредельном увеличении , т. е. существует такое положительное число что

Если, например, суть окружности с центром в начале и радиусом гл, то , так что . Предположим теперь относительно нашей дробной функции что она остается ограниченной по модулю на всех контурах т. е., иными словами, существует такое положительное число что на любом контуре выполняется неравенство

Рассмотрим интеграл вида

где интегрирование совершается в положительном направлении, а точка находится внутри и отлична от Введем в рассмотрение сумму бесконечных частей, относящуюся к тем полюсам , которые лежат внутри

где знак помещенный внизу знака суммы, обозначает, что суммирование надо производить лишь по тем полюсам, которые находятся внутри

Подинтегральная функция интеграла (69), как функция от имеет внутри простой полюс происходящий от обращения в нуль знаменателя, и полюсы происходящие от бесконечных частей Вычет в полюсе определяется по правилу: числитель на производную от знаменателя:

Вычеты в полюсах будут такими же, что и у функции

В этой последней функции представляет собою рациональную дробь, у которой степень числителя ниже степени знаменателя и все полюсы которой находятся внутри . Покажем, что при этом сумма вычетов функции (71) относительно полюсов будет

Действительно, функция (71) есть рациональная дробь от у которой степень знаменателя по крайней мере на две единицы выше степени числителя, так как есть уже рациональная дробь, у которой степень знаменателя выше степени числителя. В окрестности мы имеем, следовательно, разложение вида

и интеграл по окружности достаточно большого радиуса от функции (71) будет равен нулю, т. е. будет равна нулю сумма вычетов функции (71) во всех ее полюсах, находящихся на конечном расстоянии. Ее вычет в точке равен, очевидно, и, следовательно, сумма вычетов в остальных полюсах равна выражению (72). Применяя к интегралу (69) основную теорему b вычетах, получим

Положим в этой формуле причем мы считаем, что эта точка не есть полюс :

Вычитая это равенство из предыдущего, будем иметь

Покажем теперь, что интеграл, стоящий в левой части последнего равенства, стремится к нулю при беспредельном возрастании . Действительно, принимал во внимание, что

получим в силу (68)

или в силу (67)

откуда непосредственно вытекает, что интеграл стремится к нулю, так как Таким образом, формула (73) дает в пределе

или

При беспредельном увеличении контур по условию беспредельно расширяется, и внутрь попадают все новые и новые полюсы так что в пределе будем иметь в правой части (74) бесконечный ряд, и формула (74) дает представление в виде бесконечного ряда

Строго говоря, мы должны, согласно (74), в бесконечном ряде (75) соединять в один член те слагаемые, которые относятся к полюсам, лежащим между Но если мы убедимся, что ряд (75) сходится и без такой группировки его членов, то можем, очевидно, рассматривать в формуле (75) бесконечный ряд обычным образом.

Если вместо условия (68), которое утверждает ограниченность модуля функции на контурах СПУ мы имеем более широкое условие, а именно условие, что на контурах растет не быстрее некоторой целой положительной степени , т. е. что на всех контурах имеет место неравенство

то вместо формулы (75) будет иметь место следующая формула разложения:

где символом мы обозначили первые членов разложения функции в ряд Маклорена.

65. Функция . Рассмотрим дробную функцию

Из формулы Эйлера

непосредственно следует, что уравнение равносильно и оно имеет корни имеет лишь вещественные корни, хорошо известные из тригонометрии. Функция (77) будет иметь полюсы в точках

Рис. 61.

Покажем, что функция (77) будет ограниченной по модулю на всей плоскости, если мы выделим из плоскости точки (78) кружками одного и того же радиуса , где — произвольное, заданное положительное число. Так как функция (77) имеет период 71, то достаточно рассмотреть ее значения в полосе ограниченной прямыми причем в этой полосе точки выделены упомянутыми выше кружками радиуса с центром в этих точках. Во всякой ограниченной части полосы К функция (77) непрерывна, а следовательно, и подавно ограничена. Нам остается, следовательно, показать, что при беспредельном удалении на наверх или вниз, модуль функции (77) остается ограниченным. Положим, например, что мы удаляемся в полосе К на бесконечность, идя кверху, т. е. если положить , то , а х находится в промежутке . Мы имеем

откуда, заменяя модуль числителя суммою модулей, а модуль знаменателя — разностью модулей, будем иметь

При беспредельном возрастании у правая часть стремится к пределу единица и, следовательно, при всех достаточно больших у мы имеем, например, неравенство

Точно так же можно рассмотреть и нижнюю часть полосы К, и таким образом наше утверждение доказано.

Заметим, что такое же доказательство можно применить к дробной функции

которая имеет полюсы в тех же точках и обладает периодом т. е. функция (79) будет ограниченной по модулю, если выделить ее полюсы кружками одного и того же радиуса, величину которого можно брать произвольно малой.

Вернемся к функции (77) и примем за контуры окружности с центром в начале координат и радиусами . Эти окружности удовлетворяют условию (67). Кроме того, взяв достаточно малым например, меньше можем утверждать, что окружности не будут проходить через выделенные из плоскости кружки и, таким образом, в силу доказанного выше, на этих окружностях функция (77) будет ограниченной по модулю. То же самое можно, очевидно, утверждать и относительно функции

так как стремится к нулю при . Нетрудно видеть, что функция (80) уже не имеет полюса в начале а поэтому мы можем применить к этой функции разложение (75). Определим бесконечные части функции (77) в ее полюсах Каждый полюс будет простым корнем и вычет в этом полюсе будет вычисляться по обычной формуле

Таким образом, бесконечная часть функции (77) в полюсе будет

В частности, в полюсе бесконечная часть будет , а следовательно, действительно функция (80) не будет уже иметь полюса Что же касается остальных полюсов то у функции (80) бесконечная часть будет такой же, как у (77). Для применения формулы (75) остается еще вычислить Функция (80), как нечетная функция, имеет вблизи разложение вида

откуда непосредственно вытекает, что Окончательно формула (75) дает

где штрих у знака суммы показывает, что надо исключить слагаемое, соответствующее

Нетрудно проверить, что ряд, стоящий справа, сходится абсолютно и равномерно во всякой ограниченной части плоскости, если отбросить несколько первых слагаемых, которые имеют в этой части плоскости полюсы. Действительно, общий член ряда будет

Во всякой ограниченной части плоскости мы имеем и, считая к достаточно большим по абсолютному значению, можем написать

Коэффициент при при возрастании к стремится к конечному пределу а ряд

как известно, сходится. Следовательно, ряд (81) сходится абсолютно и равномерно в любой ограниченной части плоскости.

Если в формуле (81) заменим на то эта формула перепишется следующим образом:

Группируя попарно слагаемые, относящиеся к значениям к, одинаковым по абсолютной величине, но различным по знаку, мы можем переписать эту формулу следующим образом:

Точно так же можно доказать, например, формулу

Дифференцируя равномерно сходящийся ряд (812), будем иметь также формулу

Напомним, что выведенные выше формулы были нами получены другим путем в теории тригонометрических рядов [II, 157].