причем 
при 
. Заметим, что если некоторое число а фигурирует q раз среди чисел 
то это значит, что соответствующий корень а должен быть корнем кратности q. Мы пока считаем, кроме того, что 
не участвует среди заданных чисел 
Ограничим нашу задачу рассмотрением одного частного случая, наиболее важного в приложениях, а именно будем считать, что 
настолько быстро удаляются на бесконечность, что существует такое целое положительное число 
что ряд
есть ряд сходящийся. Мы будем считать 
.
Построим бесконечное произведение
и покажем, что оно будет удовлетворять всем условиям, указанным в предыдущем номере. Рассмотрим некоторый круг 
Начиная с некоторого значка 
числа 
будут находиться вне круга 
так что при члены произведения (104) не будут иметь корней в круге С и для всякого 
принадлежащего 
мы будем иметь
где 
определенное положительное число, меньшее единицы. Рассмотрим ряд (100) для данного случая:
В силу (105) можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд и получим при таком выборе значения логарифма для ряда (106) следующую формулу:
Исследуем общий член этого ряда
Мы имеем, очевидно,
или в силу (105), вынося за скобки 
и принимая во внимание, что в круге 
т. е.
В силу сходимости ряда 
положительные числа, стоящие в правой части последнего неравенства, образуют сходящийся ряд, и, следовательно, ряд (106) будет сходиться абсолютно и равномерно в круге 
. Таким образом, мы можем утверждать, что бесконечное произведение (104) представляет собою целую функцию и что корни этой целой функции определяются корнями сомножителей, т. е. что корни этой целой функции суть числа 
Если мы имеем какую-нибудь целую функцию 
корни которой суть 
то частное 
будет целой функцией без корней, т. е. это частное будет иметь вид 
и мы получим таким образом следующее представление для целой функции 
где 
некоторая целая функция. До сих пор мы предполагали, что точка 
не является корнем функции. Если эта точка есть корень кратности 
, то следует только добавить к правым частям формул (104) и (107) множитель 
Рассмотрим в качестве примера функцию 
Она имеет простой корень 
и простые корни 
В данном случае имеем 
так как ряд
как мы уже упоминали выше, сходится. Применяя формулу 
и добавляя множитель z, мы получим
Целая функция 
не может быть, конечно, определена из предыдущих общих соображений. Результаты [67] показывают, что в данном случае эта функция равна тождественно нулю.
Заметим, что если 
, т. е. если сходится ряд
то, рассуждая, как и выше, можно вместо формулы (107) написать формулу
В дальнейшем мы будем иметь еще примеры применения формулы (104), которая называется обычно бесконечным произведением Вейерштрасса.
Может случиться, что числа 
заданы так, что ряд (103) расходится при всяком целом положительном 
. Это будет, например, если мы положим 
Действительно, ряд с общим членом 
расходится при всяком положительном 
, так как сумма его первых членов больше, чем
а это последнее выражение, как нетрудно показать, применяя хотя бы правило Лопиталя, беспредельно возрастает вместе с k. В случае расходимости ряда (103) при всяком целом положительном 
составим бесконечное произведение
где
и 
будет зависеть от k. Повторяя вышеуказанные оценки, мы убедимся в том, что для сходимости бесконечного произведения (108) достаточна сходимость при всяком 
ряда
Достаточно для этого взять 
. Действительно, применяя признак Коши [I, 121] к ряду
получим
т. е. ряд действительно сходится. Можно показать, что для сходимости ряда достаточно взять 
такими, чтобы имело место неравенство: 
.
существовала, т. е. если бы в любом малом круге с центром 
находилось бесчисленное множество корней целой функции, то эта целая функция должна была бы тождественно равняться нулю [18]. Повторяя рассуждения из [64], мы убеждаемся, что во всяком случае корни 
целой функции могут быть расположены в порядке неубывающего модуля:
