120. Уравнения с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка, коэффициенты которого суть периодические функции независимого переменного. Теория таких уравнений во многом аналогична изложенной выше теории уравнений с аналитическими коэффициентами. Мы будем пока считать как коэффициенты, так и независимое переменное вещественными. Итак, пусть имеется уравнение

где вещественные непрерывные функции вещественного переменного имеющие период т. е.

Непрерывность коэффициентов гарантирует нам тот факт, что всякое решение уравнения (266), определяемое некоторыми начальными условиями, существует при всех вещественных значениях Пусть некоторое решение уравнения, т. е. мы имеем тождество

Заменяя на , можем написать

или, в силу (267),

Отсюда непосредственно вытекает, что будет также решением уравнения. Возьмем теперь какие-нибудь два линейно

независимых решения уравнения Функции и также должны быть решениями уравнения (266), и, следовательно, они должны выражаться линейно через т. е.

где — некоторые постоянные. Мы видим, таким образом, что если взять два линейно независимых решения уравнения (266) и прибавить к аргументу период, то это будет равносильно некоторому линейному преобразованию (268). Совершенно аналогично при рассмотрении уравнений с аналитическими коэффициентами мы видели, что при обходе вокруг особой точки линейно независимые решения испытывают линейное преобразование, и мы можем дальше рассуждать совершенно так же, как это мы делали в [100]. Приведем результаты. Таблица постоянных зависит от выбора линейно независимых решений, но коэффициенты квадратного уравнения относительно р:

будут одинаковыми при любом выборе решений. Если уравнение (269) имеет два различных корня то существуют два линейна независимых решения, которые умножаются на и при замене на т. е., обозначая эти решения через получим

Если уравнение (269) имеет одинаковые корни, т. е. то существует, вообще говоря, только одно решение, приобретающее множитель при замене на и в данном случае мы имеем вместо (270) линейное преобразование следующего вида:

Напомним еще, что уравнение (269) не может иметь корня, равного нулю, т. е. определитель, составленный из чисел , наверно отличен от нуля.

Напомнив эти результаты, перейдем теперь к установлению вида решений в различных случаях. Рассмотрим сначала случай (270). Возьмем две функции:

где мы берем некоторые определенные значения для При замене на эти функции приобретают множители и

и, таким образом, частные оказываются периодическими функциями с периодом и, следовательно, в случае (270) можно написать

где периодические функции с периодом

В случае (271) имеем для такое же выражение. Для исследования введем функцию

Подставляя в (271), получим

Определим теперь функцию соотношением

Подставляя в (273) и используя периодичность функции найдем, что Таким образом, в случае (271), когда уравнение (269) имеет двукратный корень два линейно независимых решения имеют вид

где с — некоторая постоянная, периодические функции с периодом . Если то второе решение будет иметь вид (272). Рассмотрим более подробно уравнение Хилла

т. е. тот частный случай уравнения (239), когда в нем . Определим линейно независимые решения следующими начальными условиями:

Полагая в тождествах и принимая во внимание (276), получим . Дифференцируя тождества (268) и полагая затем точно так же найдем, что Таким образом, при сделанном выборе линейно независимых решений квадратное уравнение (269) записывается в виде

Свободным членом этого уравнения является значение определителя Вронского при . Для была получена следующая формула [II, 24]:

и, следовательно, в данном случае, когда имеем . Из (276) следует, что . Таким образом, свободный член в уравнении (277) равен единице, а само уравнение (277) имеет вид

где

Поскольку вещественная функция, то решения определенные условиями (276), будут также вещественными функциями. Следовательно, число А, называемое характеристической постоянной Ляпунова, будет вещественным числом.

Если число А удовлетворяет условию то уравнение (278) имеет различные вещественные корни, произведение которых равно единице, т. е. один из этих корней будет по абсолютной величине больше единицы, а другой — меньше единицы. Если то уравнение (278) имеет невещественные, комплексно сопряженные корни по модулю равные единице. Наконец, если , то уравнение (278) имеет двойной корень, равный ± 1. Значения А существенным образом сказываются на поведении решения при беспредельном возрастании переменного Разберем указанные выше случаи.

В выражениях (272) множители суть периодические функции, а потому они остаются ограниченными при беспредельном возрастании и характер поведения решений при возрастании существенным образом определяется первыми множителями:

Вещественная часть равна, как известно, и, следовательно, если то эта вещественная часть для одного из корней, например будет положительной, а для другого — отрицательной, и, таким образом, первая из функций (280) будет беспредельно возрастать по модулю при а вторая — стремиться к нулю. Возвращаясь к решениям (272), можно утверждать, что первое из этих решений не будет оставаться ограниченным при а второе будет стремиться к нулю. Общий интеграл уравнения

в данном случае также не будет, вообще говоря , оставаться ограниченным (случай неустойчивости). Если то вещественные части равны нулю, а функции (280) при всех вещественных равны по модулю единице. В данном случае оба решения (272) и общий интеграл (281) остаются ограниченными при Если начальные условия

определяются числами а и b, достаточно малыми по абсолютной величине, то постоянные Q и также будут малыми, а следовательно, и решение будет оставаться малым по абсолютной величине при всяком положительном х (случай устойчивости).

Остается разобрать только исключительный случай когда уравнение (278) имеет кратные корни. Положим сначала . В данном случае мы можем взять решения так, чтобы они имели вид (274), т. е.

где суть периодические функции. Первое из написанных решений будет чисто периодическим, а второе будет, вообще говоря, неограниченным ввиду присутствия множителя Только в исключительном случае, когда и второе решение будет чисто периодическим. Наконец, если т. е. если то мы можем взять и вместо (282) будем иметь

В данном случае мы имеем

и, следовательно, решение будет периодическим с периодом а второе решение, как и в предыдущем случае, будет, вообще говоря, неограниченным. Решения уравнения, удовлетворяющие тождеству называются обычно -антипериодическими. Из предыдущих рассуждений легко следует

Теорема. Пусть вещественная апериодическая функция. Если при этом уравнение (275) имеет апериодическое решение, то если же оно имеет -антипериодическое решение, то

В первом случае из сказанного выше следует, что уравнение (278) имеет корень а во втором — корень откуда и следует утверждение теоремы.

Для иллюстрации изложенного рассмотрим уравнение Хилла, с постоянным коэффициентом

Постоянную q можно считать периодической функцией с произвольным периодом о). Положим сначала, что постоянная q отрицательна. Обозначая получим два линейно независимых решения, уравнения (283):

при замене на они получают вещественные множители что соответствует случаю

Если постоянная q положительна, то, обозначая мы будем, иметь следующие два решения уравнения (283):

При замене на эти решения получают множители по модулю равные единице. Эти корни различны при , где — целое число. Это соответствует случаю Для равных корней, когда решения (284) линейно независимы. Это соответствует случаю когда решения представимы в виде (274), причем для рассматриваемого случая

Наконец, при имеется два линейно независимых решения

что совпадает с (274) для и соответствует случаю

Отметим, что для уравнения (283) значение постоянной А, найденное по формуле (279), есть может быть числом любого знака).