154. Функции Бесселя и уравнение Лапласа.
Уравнение Бесселя встречается весьма часто при решении задач математической физики. Мы не можем за недостатком места рассматривать сколько-нибудь полно применение функций Бесселя и ограничимся лишь основными фактами, устанавливающими связь уравнения Бесселя с основными уравнениями математической физики.
Начнем с уравнения Лапласа. Мы исследовали раньше уравнение Лапласа в сферических координатах и пришли, таким образом, к сферическим функциям. Точно так же, написав уравнение Лапласа в цилиндрических координатах и применяя метод разделения переменных, мы придем к функциям Бесселя.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций: одной — только от 
, второй — от о и третьей — от 
Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим
Каждая из двух последних написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимая переменная 
входит только в первую из этих дробей, 
только во вторую. Приравнивая вторую из дробей постоянной 
и третью — постоянной 
получим следующие три уравнения:
или
Будем пока считать постоянные 
и k отличными от нуля. Первые два уравнения дают нам
Наконец, третье уравнение дает 
, где 
есть любое решение уравнения Бесселя с параметром 
. Если хотим иметь решение однозначное, то постоянную 
мы должны считать целым числом 
.
Получим, таким образом, решения уравнения Лапласа следующего вида:
где 
— любое целое число и постоянная k может иметь любое значение.
Если 
то мы должны вместо 
считать 
или 
и уравнение для 
даст нам 
Наконец, при 
надо считать 
и при 
надо считать 
При 
формула (129) дает нам решения следующего вида:
не зависящие от угла 
. Такие решения играют существенную роль при рассмотрении потенциала масс, имеющих осевую симметрию. Если мы хотим получить решение, конечное при 
то в формуле (110) должны положить постоянную 
равной нулю, и будем иметь решения вида
Из решений уравнения Лапласа такого типа может быть получено решение являющееся основным в теории ньютоновского потенциала, а именно имеет место формула
имеющая многочисленное применение в теории потенциала. Чтобы доказать эту формулу, обратимся к формуле (42), которая даст нам
откуда, интегрируя по 
получим
или, подставляя пределы,
Последний интеграл легко вычисляется методом, указанным в [57), откуда и вытекает непосредственно формула (112).
Если вместо постоянной 
ввести постоянную 
то 
перейдет в 
могут быть заменены на 
